交错Smith矩阵的整除性：基于互素因子链的定理

本文主要探讨了"定义在两个互素因子链上的交错Smith矩阵的整除性"这一主题，发表于2011年11月的《四川大学学报(自然科学版)》第48卷第6期。作者林宗兵和罗森针对一个由n个正整数X1, X2, ..., Xn组成的集合S，以及正整数α，研究了一种特殊类型的矩阵——a次交错GCD矩阵(Asa)和a次交错LCM矩阵[A5']。矩阵的每个元素定义为元素对(Xi, Xj)的最大公因数的a次幂乘以(-1)^(i+j)，这种结构使得矩阵具有特定的交错性质。 核心研究成果包括以下两点： 1. 整除性关系：当两个因子链互素时，作者证明了若a与b互质（即aIb），则交错GCD矩阵的行列式有以下关系：det(Asa) = det(Asb), det[A5a] = det[A5b], det(A5a) = det(A5b)。这表明这些矩阵的行列式之间存在特定的整除关系。 2. 矩阵运算性质：在n阶整数矩阵环Mn(Z)中，不仅行列式之间的关系成立，矩阵本身也满足一定的运算规则。即如果a和b互质，那么(Asa)与(Asb)、[A5a]与[A5b]以及(A5a)与[A5b]都是相容的，这意味着它们在该环中的乘法运算遵循相应的乘法规则。 论文的关键词包括整除性、因子链、交错GCD矩阵和交错LCM矩阵，反映了研究的焦点集中在数论中的特殊矩阵结构及其在整数环中的行为。中图分类号0156和文献标识码A进一步指明了文章属于数学领域，且质量得到了学术界的认可。 这篇论文深入分析了交错Smith矩阵在特定条件下的一些基本性质，对于理解整数矩阵的构造和运算规律具有重要意义，为数论和线性代数的研究者提供了有价值的新视角。