线性系统最优控制：LQ问题与矩阵求逆的应用

本资源主要讨论的是线性系统中的二次型指标优化控制问题。首先，章节5.1介绍了线性非线性系统中，特别是涉及最短时间和最少燃料等非线性指标时，寻找最优控制的复杂性。线性系统因其线性性质，使得处理线性二次型问题变得相对容易，因为这涉及到黎卡提方程，这是一种用于解决这类问题的标准工具。 在线性系统中，如果指标函数是二次型，即只包含状态变量 \( X \) 和控制输入 \( U \) 的二次函数，就可以通过求解特定的线性矩阵方程来找到最优反馈增益阵 \( G \)。这个过程简化了最优控制的设计，使得问题的求解更为规范和方便，通常被称为线性二次型（LQ）问题，它是现代控制理论中的核心内容。 5.2至5.5部分详细讨论了线性二次型问题的不同应用场景，如终端时间有限的连续系统状态调节器、稳态时的控制问题、离散系统的控制设计以及伺服跟踪问题。这些例子强调了线性二次型问题在实际工程中的实用性，尤其是在飞行器轨迹优化中，通过结合线性最优控制和非线性系统的开环控制，可以减小模型误差带来的影响，提高控制精度。 具体到飞行器轨迹优化，最优状态 \( (0,t)X \) 和控制 \( (0,t)U \) 的计算提供了名义上的解决方案。然而，由于实际飞行器的动力学特性与模型可能存在偏差，状态误差 \( \Delta X \) 成为关注点。为了减小这个误差，引入状态误差作为反馈，构造一个最优反馈控制律，将校正信号 \( \Delta U \) 加入到实际控制 \( U \) 中，目标是使飞行器尽可能接近理想的轨迹。 总结来说，这个资源的核心知识点包括线性系统的最优控制理论、黎卡提方程的应用、线性二次型问题的求解方法以及如何在实际问题中，如飞行器控制，利用线性最优控制进行误差校正。这些内容不仅展示了理论的严谨性，也体现了其在工程实践中的实用价值。