不完全插值有限元法求解对流占优方程的探索

"这篇文章是华侨大学学报(自然科学版)2002年第3期的一篇论文，由张新红撰写，主要探讨了解决对流占优方程的不完全插值有限元方法。该方法适用于处理具有边界层现象的方程，能够有效应对对流系数远大于扩散系数的问题，提高数值计算的效率和准确性。文中还通过数值实验验证了这种方法的有效性。" 在对流占优方程的研究中，通常会遇到一类问题，即方程的对流项主导扩散项，导致解在某些区域内的变化非常剧烈，形成边界层。例如，考虑一个常系数对流占优方程： \[ -\varepsilon u'' + pu' + qu = f(x), \quad (0 < x < 1), \] \[ u(0) = 0, \quad u(1) = 0, \] 其中，$\varepsilon$ 是一个小参数，$p$ 和 $q$ 是常数，对流系数 $p$ 远大于扩散系数 $\varepsilon$。当 $\varepsilon$ 极小时，为了获得足够高的精度，需要非常细的网格，这在实际计算中既困难又不稳定。 为了克服这一挑战，作者提出了不完全插值有限元法。这种方法利用分层基的概念，通过在具有边界层的区域采用更密集的网格，而在其他区域保持较稀疏的网格，从而在保证计算效率的同时，能更准确地捕捉解的特性。具体来说，文章定义了一维情况下的分层基，通过一系列嵌套的分划（如二等分）构建不同层次的有限元函数空间 $V_k$，并使用线性插值函数来近似解。 文章的计算方法包括讨论刚度矩阵的特性，这是有限元方法中的关键部分，因为它决定了系统的数值稳定性与求解效率。通过构造适当的插值函数，可以改善刚度矩阵的条件数，从而提高数值解的稳定性。此外，文中还进行了一次数值实验，以验证不完全插值有限元法在解决此类问题时的效能。 这篇论文提供了一个处理对流占优方程的有效工具，特别是对于存在边界层现象的方程，它能减少计算复杂性，提高数值模拟的精度。这一方法对于工程和物理领域中涉及对流扩散问题的模拟具有重要的理论和实践价值。