使用A*算法求解k短路：堆的可持久化技术

"余鼎力的《堆的可持久化》PDF文件主要探讨了如何在求解图论问题，特别是寻找具有特定性质的路径时，使用可持久化数据结构优化算法，尤其是堆的可持久化在解决k短路问题中的应用。" 在计算机科学中，堆是一种常用的数据结构，它通常用于实现优先队列。在这个问题中，我们面对的是一个有向带权图，目标是找到从起点s到终点t的第k个最短不严格递增的路径，即使路径中可以重复经过相同的节点。这个问题被称为k短路。 A*算法是一种启发式搜索算法，常用于路径寻找问题，它结合了广度优先搜索（BFS）和最佳优先搜索（BFS）的优点。在这个特定的问题中，我们使用A*算法但设定估价函数为0，意味着我们不考虑启发式信息，仅仅依赖于路径的实际代价。算法的核心是维护一个优先队列，队列中的元素代表了当前找到的连通块的权值，即连通块中所有边权值的总和。 堆的可持久化是指在进行插入、删除等操作时，能够保留操作历史，使得我们可以随时回溯到之前的状态。这在动态查询或回溯操作中非常有用。在解决k短路问题时，可持久化堆可以帮助我们在扩展状态时避免重复计算，同时保证状态的合法性，确保算法的时间复杂度在每一步都是对数级。 扩展状态时，有以下两种方式： 1. 删除上次选择的边，然后选择当前可选边中权值最小的边。 2. 将上次选择的边的所有出边构成一个新的可并堆，并与当前处理状态的可并堆合并，然后从合并后的堆中删除一条权值最小的边，同时禁止再次删除上一条边。 通过这样的扩展策略，我们确保了每个扩展的状态权值都大于等于原状态，满足了A*算法的正确性。同时，由于使用了可持久化堆，算法的空间效率也得到了提高，因为它可以有效地存储和检索历史状态，而无需为每次操作都保存完整的副本。 BrodalQueue是一种可持久化的数据结构，它支持堆操作并且在保持历史记录的同时保持高效。二叉堆和二项堆是两种常见的堆实现，它们可以被进一步地持久化以适应这类问题的需求。 余鼎力的论文详细介绍了如何利用可持久化堆优化A*算法来解决k短路问题，讨论了不同类型的堆结构及其在可持久化方面的实现，并给出了相关的算法设计和优化策略。这种方法不仅解决了问题，还确保了算法的时间和空间复杂度在大规模数据下仍然可行。