![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/86329302/bg3.jpg)
1.2 全概率公式和 Bayes 公式 1 随机事件与概率
• 若 A, B 互不相容: P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
• 若 A, B 相互独立:
P (A ∪ B) = 1 − P (A ∪ B) = 1 − P (A B)
= 1 − P (A)P (B).
积事件的概率 P (AB) 的求法:
• 一般形式:
P (AB) = P (A)P (B|A) = P (B)P (A|B).
• 若 A, B 相互独立:
P (AB) = P (A)P (B).
乘法公式来自于条件概率公式:
P (B|A) =
P (AB)
P (A)
.
1.2 全概率公式和 Bayes 公式
全概率公式
P (A) = P (AB
1
) + P (AB
2
) + ··· + P (AB
n
)
= P (B
1
)P (A|B
1
) + P (B
2
)P (A|B
2
) + ··· + P (B
n
)P (A|B
n
).
Bayes 公式
P (B
i
|A) =
P (B
i
) P (A|B
i
)
n
∑
j=1
P (B
j
) P (A|B
j
)
, i = 1, 2, ··· , n. (1)
Bayes 公式本质上是条件概率公式:
P (B
i
|A) =
P (AB
i
)
P (A)
,
只是其分子、分母进一步分别使用了乘法公式和全概率公式.
• 全概率公式表达了 “综合考虑引起结果 A 的各种原因 B
i
, 计算导致结果 A 出现的可能性的大小”;
如果一个事件的发生有多个 “诱因”, 就要用到全概率公式.
• Bayes 公式则反映了 “当结果 A 出现时, 它是由原因 B
i
引起的可能性的大小”. Bayes 公式常用来
追究责任, 或者 “执果索因”. 也就是计算各个 “诱因” 对事件发生的 “贡献”.
典型例题:
例 1 发报台分别以概率 0.6 和 0.4 发出信号 0 和 1. 由于通讯系统受到干扰, 当发出信号 0 时, 收报台
未必收到信号 0, 而是分别以 0.8 和 0.2 的概率收到 0 和 1; 同样, 发出 1 时分别以 0.9 和 0.1 的概率收
到 1 和 0. 如果收报台收到 0, 问它没收错的概率? (答案: 12/13.)
3