EM算法解析：似然函数与极大似然估计

"似然函数与极大似然估计-机器学习之EM算法" 本文主要探讨了在机器学习领域中，特别是EM（期望最大化）算法上下文下的似然函数和极大似然估计这两个关键概念。首先，似然函数是统计学中的一个基本工具，它衡量了一组数据出现给定参数的可能性。在机器学习中，我们通常面临参数估计的问题，即从数据中推断出模型参数。似然函数在此扮演了关键角色。 似然函数定义为：给定一组观测数据 \( x_1, x_2, ..., x_n \)，以及一个由参数 \( \theta \) 控制的概率模型，似然函数 \( L(\theta | x_1, x_2, ..., x_n) \) 是这些数据出现的概率，表示为 \( p(x_1, x_2, ..., x_n | \theta) \)。这里的 \( \theta \) 属于参数空间，是我们想要估计的未知参数。极大似然估计的目标是找到使似然函数最大化的参数值 \( \theta^* \)。 为了实现这个目标，我们通常会采用对数似然函数，因为对数函数是单调递增的，最大化对数似然等价于最大化原似然函数。对数似然函数 \( \ln(L(\theta | x_1, x_2, ..., x_n)) \) 的优点在于它简化了数学处理，尤其是在数据量大的情况下。通过求解使得对数似然函数导数为零的点，我们可以找到 \( \theta^* \)。 接下来，文章提到了Jensen不等式，这是概率论和泛函分析中的一个重要结果。Jensen不等式表明，对于一个凸函数 \( f \) 和随机变量 \( X \)，有 \( E[f(X)] \geq f(E[X]) \)，其中 \( E[\cdot] \) 表示期望值。当 \( f \) 是严格凸函数时，不等号的方向是严格的。在参数估计中，Jensen不等式有助于我们理解对数似然函数的性质，特别是在进行优化时。 EM算法是处理含有隐含变量的概率模型参数估计的一种有效方法。在EM算法中，E步骤（期望步骤）是计算当前参数估计下的隐含变量的期望值，M步骤（最大化步骤）则是利用这些期望值来更新参数估计，以最大化似然函数。通过反复交替执行这两个步骤，EM算法逐渐改进参数估计，直到收敛。 似然函数和极大似然估计是统计推断的基础，它们在机器学习的参数估计中起着核心作用。而EM算法则是一种处理含隐含变量问题的迭代方法，它结合了似然函数和Jensen不等式的思想，用于找到参数的最优估计。在理解和应用EM算法时，对似然函数和极大似然估计的理解至关重要。