二维各向异性位势问题边界元法的解析积分算法

"各向异性位势问题边界元法中几乎奇异积分的解析算法 (2008年)。文章由周焕林倡、牛忠荣等撰写，研究了二维各向异性位势问题在边界元法中的计算，提出了一种解析积分算法，解决了近边界点的几乎奇异积分计算问题。" 本文主要探讨的是在处理二维各向异性位势问题时，利用边界元法遇到的几乎奇异积分计算挑战。各向异性材料是指材料的物理性质（如弹性模量、热导率等）在不同方向上不一致，这在实际工程问题中常见，例如地质构造、复合材料等。边界元法是一种解决偏微分方程的数值方法，它将问题转化为边界上的积分方程，简化了计算复杂度。 在传统的边界元法中，当积分点靠近积分路径时，积分会变得几乎奇异，即积分函数的导数趋于无穷，导致数值计算不稳定。文章提出了一种新的解析积分算法，对于线性单元，可以直接使用解析公式计算几乎奇异积分；对于二次单元，可以将其细分，然后用解析公式进行近似计算。这种方法在内点远离积分单元时继续使用常规的高斯数值积分，而在近边界点时，采用解析积分代替高斯积分，从而提高了计算的准确性和稳定性。 此外，通过数值算例，作者验证了新算法的有效性和精确性，结果显示二次元（二次单元）的计算结果相比线性元更为精确。这表明在处理复杂的几何形状和近边界积分时，采用二次单元和解析积分相结合的方法能更好地模拟实际情况，减少边界层效应的影响。 文章还提到了边界元法在处理薄体问题上的应用，特别是在解决含有狭长细薄结构的问题时，新算法能提供更准确的解决方案。薄体问题在航空、航天以及微电子等领域中有广泛应用，其特点是几何尺寸的一个方向远小于其他方向，导致积分的几乎奇异特性更为显著。 这项工作为处理各向异性位势问题的边界元法提供了重要的理论和算法支持，有助于提高数值模拟的精度，特别是在处理近边界积分和薄体结构问题时，其解析积分算法具有显著优势。这一研究对后续的边界元法及其在工程应用中的发展具有指导意义，也为相关领域的科研工作者提供了有价值的参考。