非标准差分法求解时间分数阶线性扩散方程的数值研究

本文主要探讨了一类时间分数阶线性扩散方程的数值求解方法，针对这类特殊的偏微分方程，它超越了传统整数阶线性扩散模型，能够更好地模拟多孔介质中反常扩散现象，特别是在具有分形特性的情况下。然而，分数阶导数的复杂性使得解析解的获取极具挑战性，因此数值方法的研究变得至关重要。 作者张艳敏基于非标准有限差分法提出了一个数值解法。非标准有限差分法是一种创新的数值技术，相较于传统有限差分方法，它具有更高的精度和更佳的稳定性。这种方法的关键在于对时间分数阶导数和整数阶空间导数进行离散处理时，设计了一个依赖于时间步长和空间步长的特殊函数，以此来近似计算。这个设计允许在保留原始方程特性的同时，提高了数值结果的准确性。 文章证明了所提出的差分格式不仅收敛而且稳定，即在足够小的时间和空间步长下，数值解将趋向于微分方程的精确解。为了验证这一理论，作者通过数值实验展示了该方法的有效性，证明了其在实际问题中的适用性和优越性能。 本文的核心贡献在于提供了一种新的数值工具箱，用于解决时间分数阶线性扩散方程，这对于理解并模拟实际物理现象，如扩散过程在复杂介质中的行为，具有重要的科学价值。此外，这种方法可能也为其他分数阶偏微分方程的数值分析开辟了新的途径。 这篇文章深入研究了分数阶数学在数值计算中的应用，并为时间分数阶线性扩散方程的数值求解提供了一种高效且精确的方法，对于数值分析和工程计算领域有着显著的意义。