Bernstein多项式求解变分数阶微分方程数值解

"王金生,刘立卿,姚全福. Bernstein多项式求一类变分数阶微分方程数值解[J]. 辽宁工程技术大学学报:自然科学版,2015,34(8):983-988." 在本文中，作者探讨了如何使用Bernstein多项式来求解一类线性与非线性的变分数阶微分方程（VFDEs）的数值解。Bernstein多项式是一种在数值分析中广泛应用的工具，尤其在插值和逼近问题中显示出良好的性质。它们由俄罗斯数学家S.N. Bernshtein在20世纪初提出，具有完全正性和局部紧致性等特性，这使得它们成为解决复杂数学问题的理想选择。 对于变分数阶微分方程，其阶数不是一个常数，而是依赖于时间或空间变量的函数。这种类型的问题在物理、工程和金融等领域有广泛的应用，但求解它们通常比整数阶微分方程更具挑战性。作者通过结合Bernstein多项式，提出了一个新的数值方法来处理这类问题。 首先，他们导出了三种不同类型的微分算子矩阵，这些矩阵是基于Bernstein多项式的。微分算子矩阵能够表示VFDEs的导数操作，这在数值计算中是非常关键的步骤。接着，他们利用这些算子矩阵将原始的微分方程转化为一系列矩阵的乘积形式。这一转换简化了问题，使得复杂的微分运算可以通过矩阵运算来处理。 然后，通过离散变量，即将连续域上的问题转化为离散点上的问题，将矩阵乘积转化为线性或非线性方程组。离散化是数值分析中的常用技术，它将连续问题转化为可以使用计算机解决的离散问题。一旦得到这个方程组，就可以利用各种数值方法（如高斯消元法、迭代法等）来求解，从而得到VFDE的数值解。 作者通过数值算例展示了他们的方法在求解变分数阶微分方程时的高效性和准确性。这种方法的实施和验证证明了Bernstein多项式在处理VFDEs数值解问题中的潜力，并且对于实际应用提供了有价值的工具。此外，该工作还得到了河北省自然科学基金项目、秦皇岛市科学技术与研究计划项目以及秦皇岛市科技局科技研发计划项目的资助。 这篇文章介绍了一种基于Bernstein多项式的数值方法，用于求解变分数阶微分方程，为理解和应用VFDEs提供了一个新的数值策略。这种方法不仅适用于线性问题，也适用于非线性问题，展示了其广泛的适用性。