指派问题优化：一般线性规划模型及求解策略

一般线性规划模型求解运筹学中的指派问题是关于优化分配问题的经典数学模型。它主要涉及到在一组任务（例如工人与工作）之间寻找最有效率的配对策略，其中每个任务只能由一个人完成，且任务之间的完成时间是已知的。问题通常以矩阵形式表示，矩阵中的元素包括： 1. 表示任务集合的Sets，如Hang和Lie，以及它们对应的变量X和时间消耗A； 2. 二元变量XiShu(hang, lie)，用于指示第hang个人是否做第lie项任务； 3. 时间矩阵A，其中a_ij表示第i个人完成第j项任务所需的时间。 指派问题的目标可以是最大化效率（例如最小化总时间）或者最小化成本（例如最大利润），具体取决于问题的具体表述。两个重要的定理帮助我们求解这个问题： - 定理一：通过将每个元素（行或列）加上一个常数（例如u），可以保证原矩阵的最优指派不会改变，但总效率会增加。这是因为添加的u对每个人做任何事情的时间都产生了相同的影响，使得总时间增加，从而提高效率。 - 定理二：覆盖0元（矩阵中非负元素）的最小直线（行或列）数与位于不同行和列的0元的最大个数有关。这个关系可以用来确定解决方案的有效步骤，即通过逐步标记并删除0元来逼近最优解。 解决方法分为两步： 1. **试指派**：首先，检查矩阵是否有某一行或一列只有一个未标记的0元素，标记并删除其他0元素。如果所有0元素不止一个，选择0元最少的行或列开始，并标记其最少的0元，同时删除同一行或列的其他0元素。 2. **求解**：重复上述过程，直至所有的0元素被标记或删除。当标记的0元素数量达到n时，矩阵中每个行和列仅有一个标记的0元素，此时的矩阵即为最优解。如果达不到这个条件，则继续优化。 指派问题通过线性规划的方法求解，利用矩阵形式的数据结构和优化理论，旨在找到一个在给定约束条件下实现最佳效益的分配方案。Lingo是一种常用的数学软件，用于处理这类问题。理解这些原理和方法对于在实际工作中解决类似的生产调度、人力资源分配等问题具有重要意义。