【进阶篇】python数值优化算法应用：线性规划与非线性优化问题求解

# 1. **2.2.1 单纯形法的基本原理**

单纯形法是一种解决线性规划问题的迭代算法。它从线性规划问题的可行解开始，通过不断地替换基变量，逐步逼近最优解。

单纯形法的基本原理是：

* **可行性条件：**在每次迭代中，当前解都满足线性规划问题的约束条件。
* **最优性条件：**在每次迭代中，当前解的目标函数值都比上一次迭代的解的目标函数值更大。
* **基变量和非基变量：**线性规划问题的变量分为基变量和非基变量。基变量是出现在目标函数和约束条件中的变量，非基变量是出现在约束条件中但不在目标函数中的变量。
* **基可行解：**当所有基变量都非负时，当前解称为基可行解。
* **枢轴操作：**单纯形法通过枢轴操作来替换基变量和非基变量，从而逼近最优解。枢轴操作包括选择一个非基变量进入基，选择一个基变量退出基，以及更新目标函数和约束条件中的系数。

# 2. 线性规划问题的求解

### 2.1 线性规划问题的数学模型

线性规划问题（LP）是一种数学优化问题，其目标是最大化或最小化一个线性目标函数，同时满足一系列线性约束条件。其数学模型如下：

最大化/最小化 z = c^T x
约束条件：
Ax ≤ b
x ≥ 0

其中：

* z 为目标函数
* x 为决策变量向量
* c 为目标函数系数向量
* A 为约束矩阵
* b 为约束向量

### 2.2 线性规划算法：单纯形法

#### 2.2.1 单纯形法的基本原理

单纯形法是一种求解线性规划问题的经典算法。其基本原理是通过迭代优化目标函数，将可行解逐步逼近最优解。算法从一个可行基开始，并通过一系列基变量的交换，使得目标函数值不断增大（或减小）。

#### 2.2.2 单纯形法的步骤和实现

单纯形法的步骤如下：

1. **初始化：**选择一个可行基并计算初始目标函数值。
2. **选择进入变量：**选择一个非基变量，使其进入基中，使得目标函数值增加（或减小）最大。
3. **选择离开变量：**选择一个基变量离开基，以保持可行性。
4. **更新基：**用进入变量替换离开变量，更新基矩阵和目标函数值。
5. **重复步骤 2-4：**直到无法找到可以改善目标函数值的进入变量，或达到最大迭代次数。

**Python 实现：**

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog

def simplex(c, A, b):
    """
    单纯形法求解线性规划问题

    参数：
    c: 目标函数系数向量
    A: 约束矩阵
    b: 约束向量

    返回：
    x: 最优解
    z: 最优目标函数值
    """

    # 初始化
    m, n = A.shape
    x = np.zeros(n)
    B = np.eye(m)  # 可行基
    z = c.T @ x

    # 迭代
    while True:
        # 选择进入变量
        entering_var = np.argmax(c - B.T @ A)

        # 选择离开变量
        leaving_var = np.argmin(B @ A[:, entering_var] / b)

        # 更新基
        B[:, leaving_var] = A[:, entering_var] / b[leaving_var]
        z += c[entering_var] * b[leaving_var]

        # 检查终止条件
        if np.all(c - B.T @ A <= 0):
            break

    # 返回最优解和目标函数值
    return x, z

### 2.3 线性规划算法：内点法

#### 2.3.1 内点法的基本原理

内点法是一种求解线性规划问题的另一种算法。其基本原理是通过迭代将当前解向可行域的中心移动，使得目标函数值不断逼近最优解。算法从一个可行解开始，并通过一系列迭代，使得目标函数值和约束条件的违反程度不断减小。

#### 2.3.2 内点法的步骤和实现

内点法的步骤如下：

1. **初始化：**选择一个可行解并计算初始目标函数值和约束违反程度。
2. **求解线性方程组：**求解一个线性方程组，得到一个搜索方向。
3. **步长选择：**沿着搜索方向选择一个步长，使得目标函数值和约束违反程度同时减小。
4. **更新解：**用新的解替换当前解，更新目标函数值和约束违反程度。
5. **重复步骤 2-4：**直到达到最大迭代次数或满足终止条件。

**Python 实现：**