【基础】SciPy库基础：优化算法与数值积分

# 2.1 无约束优化

无约束优化是指求解无约束条件下函数的极值问题。SciPy 库提供了多种无约束优化算法，包括：

- **梯度下降法**：一种迭代算法，通过沿函数梯度的负方向更新当前点，逐步逼近极值点。
- **牛顿法**：一种二阶优化算法，利用函数的二阶导数信息，加速收敛速度。

# 2. 优化算法

### 2.1 无约束优化

无约束优化是指求解目标函数在没有约束条件下的最小值或最大值。SciPy 库提供了多种无约束优化算法，包括梯度下降法和牛顿法。

#### 2.1.1 梯度下降法

梯度下降法是一种迭代算法，它通过沿目标函数梯度的负方向更新当前点，逐步逼近最优值。其更新公式为：

x_new = x_old - alpha * grad(f(x_old))

其中：

- `x_new` 是更新后的点
- `x_old` 是当前点
- `alpha` 是学习率，控制更新步长
- `grad(f(x_old))` 是目标函数在当前点的梯度

**代码逻辑分析：**

1. 计算目标函数在当前点的梯度。
2. 根据学习率和梯度，更新当前点。
3. 重复步骤 1 和 2，直到达到收敛条件。

#### 2.1.2 牛顿法

牛顿法是一种二阶优化算法，它利用目标函数的二阶导数信息来加速收敛。其更新公式为：

x_new = x_old - H(x_old)^-1 * grad(f(x_old))

其中：

- `H(x_old)` 是目标函数在当前点的海森矩阵（二阶导数矩阵）
- `grad(f(x_old))` 是目标函数在当前点的梯度

**代码逻辑分析：**

1. 计算目标函数在当前点的梯度和海森矩阵。
2. 求解海森矩阵的逆矩阵。
3. 根据梯度和海森矩阵的逆矩阵，更新当前点。
4. 重复步骤 1 至 3，直到达到收敛条件。

### 2.2 有约束优化

有约束优化是指求解目标函数在满足约束条件下的最小值或最大值。SciPy 库提供了线性规划和非线性规划算法来解决有约束优化问题。

#### 2.2.1 线性规划

线性规划是指目标函数和约束条件都是线性的优化问题。SciPy 库使用单纯形法来求解线性规划问题。

**单纯形法流程图：**

graph LR
subgraph 单纯形法流程图
    A[初始化] --> B[选择主元]
    B --> C[更新主元行]
    C --> D[更新非主元行]
    D --> E[检查最优性]
    E[是] --> F[结束]
    E[否] --> B
end

#### 2.2.2 非线性规划

非线性规划是指目标函数或约束条件是非线性的优化问题。SciPy 库提供了各种非线性规划算法，包括序列二次规划法（SQP）和内点法。

# 3.1 一维积分

#### 3.1.1 梯形法

梯形法是一种数值积分方法，它将积分区间等分为 $n$ 个子区间，然后将每个子区间近似为一个梯形，最后将所有梯形的面积相加得到积分值。

**公式：**

def trapezoidal_rule(f, a, b, n):
    """
    梯形法计算一维积分

    参数：
        f: 被积函数
        a: 积分下限
        b: 积分上限
        n: 分区数

    返回：
        积分值
    """
    h = (b - a) / n
    sum = 0
    for i in range(1, n):
        sum += f(a + i * h)
    return h * (0.5 * f(a) +