线性变换对系统能观测性的影响

"该文主要讨论线性系统的能控性和能观测性，特别是线性变换后系统能观测性不变的性质。能控性和能观测性是衡量线性系统的重要结构特性，由卡尔曼在1960年提出。能控性关注是否可以通过控制输入将系统从任意初始状态转移到任意终态，而能观测性则关注能否通过输出信息确定系统的所有状态。文章通过举例说明了离散系统的状态可控性，并指出系统矩阵和输入矩阵对能控性的影响。" 详细知识点: 1. **能控性和能观测性的定义**: - 能控性是评估一个线性系统是否可以通过控制输入使得系统状态从任意初始状态转移到任意终态的能力。这涉及到状态方程，通常分为状态能控性和输出能控性。 - 能观测性则关注系统输出能否提供足够的信息来估计系统的全部状态。如果仅通过输出信息无法确定所有状态，系统就被认为是部分可观测或不可观测。 2. **卡尔曼的贡献**: - 卡尔曼在1960年首次提出了能控性和能观测性这两个概念，它们对于理解线性系统的动态行为至关重要，特别是在状态空间表示中。 3. **线性变换与能观测性不变**: - 文中提到，经过线性变换后的系统，其能观测性矩阵的秩与原系统的能观测性矩阵秩相同，因此系统的能观测性不变。这意味着即使系统的形式发生改变，其可观测性性质保持不变。 4. **离散系统的状态可控性**: - 文章给出了一个单输入离散状态方程的例子，展示了状态序列如何随时间变化，并通过计算得出状态变量在特定控制下的行为。例子中说明，如果某个状态变量不受控制，整个系统就会变得不可控。 5. **系统矩阵与输入矩阵的作用**: - 系统的可控性直接受到系统矩阵（状态转移矩阵）和输入矩阵的影响。如果系统矩阵中的某些元素或者输入矩阵无法影响所有状态变量，那么系统就是部分可控或不可控。 6. **能控性和能观测性的判断**: - 对于离散系统，可以利用能控性和能观测性矩阵的秩来判断系统是否满足这些特性。例如，如果能控矩阵的秩等于系统的状态数，那么系统就是状态能控的；同样，如果能观测性矩阵的秩也等于状态数，则系统是状态能观测的。 7. **实际应用**: - 能控性和能观测性对于设计控制器和状态估计器非常重要，如卡尔曼滤波器就依赖于系统的能观测性。在实际工程中，理解并分析系统的能控性和能观测性对于优化控制策略和提高系统性能具有重要意义。 线性系统的能控性和能观测性是系统理论的基础概念，它们提供了评估和设计控制系统的关键依据。通过线性变换保持能观测性的性质，有助于在不同的坐标系或模型表示之间进行分析和比较，从而简化问题并找到最优解决方案。