MCMC方法解析：Gibbs抽样与粒子滤波

本文主要介绍了Gibbs抽样和MCMC（Markov Chain Monte Carlo）方法，这两种方法在统计计算中有广泛应用。 Gibbs抽样是一种特殊的马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）技术，主要用于在多维概率分布中采样。在给定其他变量值的情况下，Gibbs抽样通过对每个变量单独进行采样来更新整个状态向量。当处理的联合分布很复杂，直接采样非常困难时，Gibbs抽样尤其有用。在描述中提到，如果Gibbs抽样只涉及一个变量，那么它就简化为从该变量的条件分布中直接采样，这是最简单的MCMC形式。 MCMC方法是一种利用马尔科夫链的性质来模拟复杂分布的统计计算技术。马尔科夫链是一个随机过程，其当前状态仅依赖于前一个状态，而不依赖于之前的任何历史状态。在统计计算中，马尔科夫链被用来生成一系列样本，这些样本在经过足够长时间后，其分布会逼近目标分布。这个过程称为“平稳分布”或“极限分布”。 在马尔科夫链中，关键概念是转移核p(x,·)，它定义了从状态x转移到其他状态的概率。对于离散状态，转移核是一个概率分布列；而对于连续状态，它是一个概率密度函数。MCMC的核心思想是通过设计一个马尔科夫链，使得在长时间运行后，其产生的样本序列能反映出目标分布的特性。 在统计计算中，MCMC方法常用于计算特定函数关于某个概率分布的期望值。这包括计算均值、方差等统计量，尤其是在目标分布难以解析或高维情况下。MCMC方法的实施通常包括以下步骤：构建满足平稳分布条件的马尔科夫链、初始化链的初始状态、然后按照马尔科夫性质进行迭代，每次迭代中根据当前状态提出新状态并接受或拒绝，以保持链的平稳性。 Gibbs抽样和MCMC都是处理复杂统计问题的强大工具，它们通过生成近似目标分布的样本序列，帮助我们进行计算和推断。在机器学习、贝叶斯统计和其他需要模拟高维分布的领域，这两种方法有着广泛的应用。