在4.1.3版本的R语言中建立ergm模型，参照分布项设置为泊松分布，引入关键的包，对模型分别使用MH采样函数以及Gibbs采样函数下的MCMC算法进行参数估计，并绘制后验密度、迭代轨迹、自相关图像

首先，我们需要安装和加载ergm包和其他相关包：

install.packages("ergm")
library(ergm)
library(coda)

接下来，我们需要准备数据并定义模型：

# 生成随机图数据
set.seed(123)
g <- ergm::as.network(erdos.renyi.game(100, 0.1))

# 定义模型
model <- ergm(g ~ edges + mutual + istar(2))

在模型中，我们使用了三个网络统计量：边数、互惠性和2度星形。我们将使用MH和Gibbs采样函数进行参数估计：

# 使用MH采样函数进行参数估计
set.seed(123)
fit.mh <- ergmMH(model, mcmc = 5000)

# 使用Gibbs采样函数进行参数估计
set.seed(123)
fit.gibbs <- ergmGibbs(model, mcmc = 5000)

我们可以绘制后验密度图来比较两种方法的效果：

# 绘制后验密度图
dens.mh <- density(as.mcmc(fit.mh))
dens.gibbs <- density(as.mcmc(fit.gibbs))

plot(dens.mh, col = "blue", lwd = 2, main = "Posterior Density")
lines(dens.gibbs, col = "red", lwd = 2)
legend("topright", c("MH", "Gibbs"), col = c("blue", "red"), lwd = 2)

接下来，我们可以绘制迭代轨迹图来检查收敛情况：

# 绘制迭代轨迹图
par(mfrow = c(2, 1))
plot(fit.mh, main = "MH")
plot(fit.gibbs, main = "Gibbs")

最后，我们可以绘制自相关函数图像来检查样本的自相关性：

# 绘制自相关函数图像
par(mfrow = c(2, 1))
acf(as.mcmc(fit.mh))
acf(as.mcmc(fit.gibbs))

完整的代码如下：

install.packages("ergm")
library(ergm)
library(coda)

# 生成随机图数据
set.seed(123)
g <- ergm::as.network(erdos.renyi.game(100, 0.1))

# 定义模型
model <- ergm(g ~ edges + mutual + istar(2))

# 使用MH采样函数进行参数估计
set.seed(123)
fit.mh <- ergmMH(model, mcmc = 5000)

# 使用Gibbs采样函数进行参数估计
set.seed(123)
fit.gibbs <- ergmGibbs(model, mcmc = 5000)

# 绘制后验密度图
dens.mh <- density(as.mcmc(fit.mh))
dens.gibbs <- density(as.mcmc(fit.gibbs))

plot(dens.mh, col = "blue", lwd = 2, main = "Posterior Density")
lines(dens.gibbs, col = "red", lwd = 2)
legend("topright", c("MH", "Gibbs"), col = c("blue", "red"), lwd = 2)

# 绘制迭代轨迹图
par(mfrow = c(2, 1))
plot(fit.mh, main = "MH")
plot(fit.gibbs, main = "Gibbs")

# 绘制自相关函数图像
par(mfrow = c(2, 1))
acf(as.mcmc(fit.mh))
acf(as.mcmc(fit.gibbs))