Navier-Stokes方程局部压力梯度稳定化有限元方法研究

"Navier-Stokes方程的局部压力梯度稳定化有限元方法分析 (2010年)，作者：卓凡、冯民富、张莉，发表于《四川大学学报(自然科学版)》2010年第1期。" Navier-Stokes方程是流体力学中的核心方程，描述了粘性流体的运动，广泛应用于航空、机械、环境工程等领域。在数值模拟中，由于压力和速度之间的藕合关系，求解Navier-Stokes方程往往面临稳定性问题。针对这一挑战，2010年卓凡、冯民富和张莉提出了一个基于局部压力梯度稳定化方法的新型有限元方法。 在传统的方法中，速度通常被约束在H^1连续空间，而压力则在L^2空间。然而，这种处理方式可能导致压力项的数值解不准确，尤其是在处理复杂的流动问题时。该研究创新性地将速度保持在H^1连续空间，但允许压力在L^2空间中是非连续的，这有助于改善压力场的数值表现，提高计算稳定性。 局部压力梯度稳定化方法的核心思想是通过引入额外的项来抑制压力梯度引起的数值振荡，这些项与压力梯度的平方成正比，从而增强算法的稳定性。这种方法能够有效地处理流体内部的压力波动，尤其是在网格不均匀或边界条件复杂的情况下。 Brouwer不动点定理是证明离散解存在性和唯一性的关键工具。这是一个拓扑学的概念，用于证明在一定条件下函数在有界闭集上的固定点的存在。在本文中，作者利用这一定理证明了所提出有限元方法的离散解不仅存在，而且是唯一的，这对于确保数值解的可靠性至关重要。 此外，作者还提供了误差估计，这是评估数值方法精度的关键。通过对解的连续性和离散化过程的分析，他们得出了关于误差的上界估计，这为优化算法和选择合适的网格尺寸提供了理论指导。 这项工作为Navier-Stokes方程的数值求解提供了一个新颖且稳健的策略，对于理解和解决实际流体动力学问题具有重要的理论和应用价值。通过局部压力梯度稳定化和Brouwer不动点定理的应用，该方法能够有效处理压力场的非连续性，提高了数值模拟的精确度和效率。