B样条曲线与曲面：改进的Bezier方法

现令我们探讨的是B样条曲线与曲面，这是计算机图形学领域中的一个重要概念，由Gordon和Riesenfeld等人在1972年对Schoenberg提出的样条方法进行改进和发展而来。B样条方法在保持Bezier方法优点的同时，解决了其局限性，特别是关于局部修改和拼接复杂性的问题。 Bezier曲线和曲面是通过控制多边形的顶点来定义的，它们的特点包括分段连续性和基于Bernstein基函数构建的多项式。然而，Bezier曲线的不足在于它们不支持局部修改，这意味着一旦定义好曲线，若需改动部分形状，整个曲线都需要重新计算。此外，Bezier曲线的拼接过程相对复杂，不易于实现平滑过渡。 B样条曲线的定义采用递推方式，由控制顶点和特定的参数t决定。这种递推定义由de Boor-Cox公式给出，它通过一系列的线性组合生成k阶B样条基函数，这些基函数是k阶多项式样条，而非递增的参数t的函数。B样条曲线的方程可以表示为每个控制点权重与相应B样条基函数的乘积之和。 理解B样条的关键在于掌握样条插值的概念，即通过三对角方程将函数值关联到参数上，形成一个线性空间，其中B样条基函数作为这个空间的基。与Bezier曲线不同，B样条使用B样条基函数替代伯恩斯坦基函数，使得曲线的构建更为灵活，能够适应不同的设计需求。 de Boor-Cox递推定义提供了一个计算B样条的算法框架，通过一系列的条件判断和线性组合，可以生成所需的B样条函数。这个定义允许我们根据给定的划分，计算出所有B样条的集合，并且可以方便地处理边界条件和其他特殊情况。 总结来说，B样条曲线与曲面是计算机图形学中用于创建平滑、可编辑的曲线和曲面模型的重要工具。它们利用递推定义和特定的基函数，克服了Bezier方法的局限性，使得图形设计师能够在不失精度的情况下进行局部修改和拼接操作，从而广泛应用于动画、CAD设计等领域。