浴缸优化模型:恒温节能与人体影响的多目标优化
该篇2016年美国数学建模竞赛一等奖论文的中文翻译版,探讨了如何在传统家用浴缸中实现节能和舒适的泡澡体验。研究者针对只有一个热水龙头的浴缸,提出了一个多目标优化模型,目标是通过精确控制水龙头流量和热水温度,保持浴缸内的水温恒定,同时减少水的浪费。 论文首先对浴缸中的热量损失进行了细致分析。热量损失主要分为两部分:一是沿浴缸四壁和底部通过空气传递的,通过傅里叶导热定律计算;二是水面蒸发导致的,通过水由液态到气态的焓变来确定。由于涉及众多参数,作者通过回归分析将其简化为一元二次函数,并构建了温度随时间的微分方程。考虑到环境温湿度的影响,引入阻滞因子进一步完善模型。 模型还考虑了人在浴缸中的影响,人体作为一个动态热源,会改变浴缸水温。作者分析了人的体温恒定、体积变化以及运动对散热的影响,利用MATLAB生成随机数据模拟人的运动过程,并通过三角函数拟合来描绘其对水温变化的贡献。通过这些分析,形成了一个综合考虑人与水温交互作用的模型。 优化模型的核心是建立一个水温随时间变化的分段模型,根据浴缸是否已满以及排水情况,结合能量守恒定律。舒适度指标被定义为浴缸热水与水温差的正向化、归一化和加权求和,同时要求在保持流量稳定的情况下,舒适度最大化,但用水量最小。由于含有微分方程的约束,采用离散仿真和模拟退火算法寻找全局最优解。 研究者还探讨了添加泡泡剂对模型的影响,以及不同浴缸尺寸(如长1.5米、宽0.6米、高0.5米的矩形浴缸)下,最优的热水温度和输入速率。此外,作者对浴缸形状、体积和人体体积等因素进行了敏感性分析,发现浴缸体积对结果的影响最为显著。 总结来说,这篇论文通过数学建模技术,解决了一个实际生活中的问题,即如何在不配备高级设备的家庭浴缸中,既提供舒适的泡澡体验又节约水资源。它展示了如何通过科学的方法,将复杂的热力学原理与日常生活场景相结合,创造出实用且经济的解决方案。
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