"图论讲义1：图和子图的概念和实例"

图论是数学中的一个分支，研究的对象是图。图是由一组节点和一组边组成的数据结构，用于描述事物之间的关系。在图论中，一个图被定义为一个有序三元组G = (V(G), E(G), ψG)，其中V(G)是非空顶点集，E(G)是不与V(G)相交的边集，ψG是一个关联函数。 在一个图中，顶点代表着事物，而边代表着事物之间的关系。如果一条边e连接了顶点u和v，我们就称e连接了u和v，并将u和v称为e的端点。举个例子，假设我们有一个图G = (V(G), E(G), ψG)，其中V(G)={v1, v2, v3, v4, v5}，E(G)={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8}，ψG的定义如下： ψG(e1) = (v1, v2) ψG(e2) = (v2, v3) ψG(e3) = (v3, v3) ψG(e4) = (v3, v4) ψG(e5) = (v2, v4) ψG(e6) = (v4, v5) ψG(e7) = (v2, v5) ψG(e8) = (v5, v1) 上述定义表示了图G中每条边与其所连接的顶点之间的关系。比如，e1连接了v1和v2，e2连接了v2和v3，以此类推。同时，ψG的定义还告诉我们e3连接了v3和v3，这表示v3与自身存在一条边。 在图论中，还有一个重要的概念是简单图。简单图是一种没有重复边和自环的图。重复边指的是连接同一对顶点的多条边，而自环是指连接顶点与自身的边。在上述例子中，图G并不是一个简单图，因为存在重复边和自环。 除了简单图，还有一些其他类型的图，如多重图、带权图等。多重图允许有重复边，而带权图在边上带有权重。图论研究的内容涉及到图的性质、算法和应用等方面。图的性质包括图的连通性、完全图、图的度数等。图的算法包括最短路径算法、最小生成树算法等。而图的应用涵盖了许多领域，如计算机网络、社交网络、物流规划等。 在图论中，还有一个重要的概念是子图。子图是从原图中选取一部分节点和边所构成的图。选取的节点和边必须满足一定的条件，比如节点集和边集都是原图的子集。子图的研究对于理解原图的性质和结构具有重要意义。 总结起来，图论是研究图及其性质、算法和应用的数学分支。图由节点和边组成，节点代表事物，边代表事物之间的关系。图可以用有序三元组表示，其中顶点集、边集和关联函数描述了图的结构和连通性。简单图是一种没有重复边和自环的图。子图是从原图中选取一部分节点和边所构成的图。图论的研究对于解决实际问题和优化算法具有重要意义。