动态规划入门：垃圾陷阱问题与数字三角形

"动态规划入门题——垃圾陷阱" 在这个动态规划问题中，我们需要帮助卡门计算出从垃圾陷阱中逃脱的最早时间。问题的关键在于如何有效地利用每个垃圾的堆放高度和维持生命的能量。这是一个典型的二维动态规划问题，我们可以定义两个状态变量来表示： 1. 状态1：`dp[i][j]` 表示在第 `i` 个时刻，卡门堆积的垃圾高度达到 `j` 英尺时，她能够生存的最长时间。 2. 状态2：`escapeTime[i]` 表示在第 `i` 个时刻，卡门可以确定的最早逃脱时间。 状态转移方程可以如下设定： - 如果在第 `i` 个时刻，卡门还没有逃脱（即 `j < D`），她有两个选择：吃掉垃圾或者堆积垃圾。如果吃掉垃圾，她可以维持生命 `f` 个小时，因此 `dp[i][j] = dp[i-1][j] + f`；如果堆积垃圾，她可以把垃圾高度增加 `h`，因此 `dp[i][j+h] = dp[i-1][j]`。 - 当 `j >= D` 时，卡门可以逃脱，此时 `escapeTime[i]` 应该是最小的 `i` 使得 `dp[i][D] >= 10`，因为卡门初始有10小时的能量，所以至少要堆到井口高度并且还有足够的能量才能算逃脱。 在处理过程中，我们需要确保在每个时间步 `i`，都先更新 `dp[i]`，然后再更新 `escapeTime[i]`。同时，为了防止重复计算，可以使用记忆化搜索，将已经计算出的结果存储在一个二维数组中，当需要再次计算时直接从数组中获取结果，从而优化时间复杂度。 动态规划的核心思想是将问题分解成子问题，通过求解子问题的最优解来获得原问题的最优解。在本题中，我们逐个处理垃圾，每次处理时，都考虑当前状态下两种可能的操作（吃和堆），并选择最优的策略。 动态规划的特点包括： - 重叠子问题：一个问题的最优解往往包含其子问题的最优解。 - 最优子结构：问题的最优解可以通过子问题的最优解构造出来。 此外，动态规划的应用广泛，可以解决背包问题、最长公共子序列、最短路径等问题。理解并掌握动态规划，对于信息学竞赛和实际的编程问题解决都有极大的帮助。在实际应用中，往往需要根据具体问题设计合适的状态和状态转移方程，以及有效的记忆化搜索策略，以实现高效的解决方案。