清华笔记：微分拓扑解析——神圣网格与单位切丛同伦群

在清华大学的计算共形几何讲义中，微分拓扑是核心内容之一。课程由顾险峰教授在每周二和周四上午9:50-11:20AM的近春园西楼三楼报告厅进行讲解。该部分着重介绍了光滑同伦群的概念及其在工程中的实际应用，特别是针对“神圣网格”问题的理论背景。 “神圣网格”问题源于计算机图形学、几何建模和计算力学等领域，目标是高效地将实体进行网格划分，确保每个单元简单且整体结构规则。这个过程包括生成非结构四面体网格、结构化四面体网格等不同难度级别，其中结构化六面体网格生成，特别是自动生成，被誉为“神圣网格”问题。由于网格生成在实际工程力学模拟中占据60%的成本，其重要性不言而喻。 瑟斯顿的工作在这个领域起到了关键作用，他利用微分拓扑的理论工具，如单位切丛的同伦群，对六面体网格生成算法进行了理论澄清。单位切丛是光滑曲面上所有单位切向量构成的三维流形，具有直积结构，每个纤维对应于曲面上的一个单位圆。在光滑曲面上，例如拓扑球面的情况下，给定边界上的四边形网格，学者们试图通过微分拓扑的方法探讨如何扩展为内部的六面体网格，这是整个网格生成过程中的核心挑战。 在课堂上，学生们不仅学习理论概念，还可能通过实例分析和实践操作来掌握如何通过计算手段处理这些同伦群，以及如何将其应用到实际的网格生成算法设计中。理解单位切丛的同伦群性质对于开发高效的六面体网格生成算法至关重要，这不仅是数学理论与工程实际结合的体现，也是推动计算机图形学进步的重要一步。通过这样的课程，学生能够深入理解微分拓扑在现代科技领域的实际应用价值。