平衡二叉树与AVL树：刘汝佳高级数据结构讲解

"刘汝佳 高级数据结构 第2讲涵盖了平衡二叉树、可并优先队列、线段树和树状数组基础、RMQ（Range Minimum Query）与LCA（Lowest Common Ancestor）等高级数据结构。讲解者为刘汝佳，主要目的是介绍数据结构的高级算法，提升对数据结构操作效率的理解和应用能力。" 在高级数据结构中，平衡二叉树是一种关键概念，它旨在保持树的平衡状态以优化搜索、插入和删除操作的性能。基本的二叉搜索树（BST）具有左子节点小于根节点、右子节点大于根节点的特性，但如果不平衡，高度可能达到线性，导致操作效率低下。平衡二叉树如AVL树，则通过限制子树高度差不超过1来确保树的平衡，从而保证了查找、插入和删除的时间复杂度为O(log n)。 AVL树的旋转是其保持平衡的关键操作。单旋转分为左旋和右旋，用于调整局部树形结构；双旋转则是结合左右旋进行的，以应对更复杂的不平衡情况。在插入新节点时，可能会破坏AVL树的平衡性质，此时需要从插入点向上遍历到第一个不平衡的节点，然后通过旋转恢复平衡。 可并优先队列，也称为二叉堆，是另一种高效的数据结构，常用于实现优先队列。它具有堆属性：父节点的值总是大于或等于其子节点的值。可并优先队列支持合并两个堆和删除最小元素（堆顶元素）的操作，时间复杂度均为O(log n)。 线段树和树状数组是线性数据结构的高效表示，常用于处理区间查询和更新问题。线段树将区间划分成多个子区间，并在每个节点存储子区间的汇总信息，支持动态查询和修改。树状数组，又称斐波那契堆，是另一种解决相同问题的数据结构，它们都提供了高效的区间操作。 RMQ和LCA是与树相关的算法问题。RMQ询问一个数组中某段连续子序列的最小值，而LCA则寻找树中两个节点的最近公共祖先。两者在图论和数据结构领域有广泛应用，例如在最短路径计算、动态查询等方面。 这门课程深入探讨了高级数据结构，通过学习这些内容，开发者可以设计和实现更高效的数据结构解决方案，优化算法性能，解决实际工程中的复杂问题。