迭代法求解线性方程组：Jacobi、Gauss-Seidel与松弛法比较

"本文主要介绍了线性方程组的迭代求解方法，包括Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和松弛迭代法，并提供了相关的C语言代码实现。实验旨在帮助学习者深入理解这三种迭代法的构造过程，以及如何通过编程实现。同时，通过对不同迭代法的比较，探讨它们在求解线性方程组时的收敛速度差异。" 在数值计算领域，求解线性方程组是常见的问题。当方程组规模较大，直接求解如高斯消元法等方法变得效率低下时，迭代法成为一种实用的选择。迭代法的基本思想是通过不断的近似求解，逐步逼近方程组的真正解。 1. **Jacobi迭代法**：该方法基于将原方程组分解为一组独立的线性方程，然后依次求解每个未知数。在每次迭代中，当前未知数的值只依赖于前一次迭代中的其他未知数的值。在给定的代码中，`jacobi`函数实现了Jacobi迭代法。通过初始化矩阵`b`来存储每个未知数的系数，然后不断更新`x1_x0`，直到满足误差阈值`EPS`或达到最大迭代次数`max_D`。 2. **Gauss-Seidel迭代法**：与Jacobi迭代法相比，Gauss-Seidel迭代法的改进在于在每次迭代中，当前未知数的值会依赖于当前迭代中的其他未知数，而不是前一次迭代的值，从而可能更快地收敛。在代码中，Gauss-Seidel迭代法的实现可以类似地构建，但需要注意的是，在计算新值时应立即使用更新后的值，而不是等待整个迭代过程结束后再进行更新。 3. **松弛迭代法**：松弛迭代法结合了Jacobi和Gauss-Seidel迭代法的优点，通过引入松弛因子`w`来调整每次迭代的步长，以提高收敛速度。松弛因子通常在0到2之间选择，以平衡快速收敛和稳定性。在代码中，松弛因子`w1.25`表示了这种改进，它会根据当前迭代的解和上一次迭代的解计算新的解。 在实际应用中，选择哪种迭代法取决于问题的具体特性，如系数矩阵的条件数、对称性等因素。实验部分提到要比较三种迭代法的收敛速度，这可以通过计算每次迭代后解的改变量（范数）来评估，通常收敛速度较快的迭代法在相同条件下需要的迭代次数较少。 最后，代码段中还包括了计算范数的辅助函数`norm_inf`，用于判断解的变化是否小于设定的误差阈值，以确定迭代是否停止。输出结果包括解的各个分量和总的迭代次数，以便于观察和分析。 迭代法是解决大型线性方程组的有效工具，通过对Jacobi、Gauss-Seidel和松弛迭代法的理解和实践，可以增强对数值计算方法的掌握，并为后续的数值分析和优化打下基础。