自由落体运动的高度和速度最优估计模型及分析

已知一物体作自由落体运动，对其高度进行了20次测量。测量值如下表所示：时间和高度之间的对应关系如下： | 时间[s] | 高度[km] | |---------|----------| | 1.99458 | 1.68671 | | 3.89802 | 1.97949 | | 6.74553 | 1.95541 | | 10.58504| 1.92141 | | 15.41255| 1.87771 | | 21.23186| 1.82501 | | 28.03997| 1.75981 | | 36.03998| 1.66013 | | 45.03999| 1.50746 | | 55.04000| 1.28396 | | 66.04001| 0.96686 | | 78.04002| 0.55000 | | 91.04003| 0.02266 | | 105.04004| -0.36439| | 120.04005| -0.75932| | 136.04006| -1.15082| | 153.04007| -1.54607| | 171.04008| -1.93728| | 190.04009| -2.30979| | 210.04010| -2.66585| 设高度的测量误差是均值为0、方差为1的高斯白噪声随机序列，该物体的初始高度$h_0$的期望值为1900m，方差为1000，速度$v_0$也是高斯分布的随机变量，其期望值为10m/s，方差为2。现在要求该物体高度和速度随时间变化的最优估计。 首先选取系统的状态变量为$h_k$和$v_k$，分别代表物体在第k时刻的高度和速度。我们不考虑过程噪声的存在。根据牛顿第二运动定律，可以写出系统的状态方程。由于采样周期$T=1s$，我们可以将状态方程离散化表示为： \[ \begin{pmatrix} h_{k+1} \\ v_{k+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & T \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_k \\ v_k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0.5T^2 \\ T \end{pmatrix} g \] 其中g=9.8m/s²为重力加速度。接下来，根据高斯白噪声的性质，我们可以得到观测方程： \[ z_k = h_k + n_k \] 其中$n_k$为高斯白噪声。根据卡尔曼滤波理论，我们可以通过状态方程和观测方程来更新状态和协方差矩阵。在这个过程中，我们需要初始化状态估计和协方差矩阵。在本例中，我们可以取$h_0=1900$，$v_0=10$，$P_0=diag(1000,2)$。 通过卡尔曼滤波算法的迭代计算，我们可以得到物体高度和速度随时间变化的最优估计。卡尔曼滤波能够对不确定性进行有效的处理，通过动态地调整状态估计和协方差矩阵，使得估计的结果更加准确和可靠。 综上所述，通过对物体自由落体运动的20次高度测量数据进行处理，结合卡尔曼滤波算法，可以得到物体高度和速度随时间变化的最优估计结果。这有助于我们更好地理解物体的运动规律，并可以在实际应用中提供参考和指导。