行列式详解：线性代数中的运算性质与余子式

"这篇资料主要复习了线性代数中的方阵行列式概念，包括行列式的定义、性质以及代数余子式的重要性质。" 在数学的线性代数领域，行列式是一个非常核心的概念，它对理解矩阵的性质至关重要。行列式（Determinant）是一个特殊的数值，仅适用于方阵，即行数和列数相等的矩阵。对于一个n阶方阵A，其元素为aij，我们可以根据定义来理解行列式： 1. 行列式是由n!种不同的项组成的，每项是选取n个不同行和n个不同列的元素的乘积，这些元素按一定顺序排列，并带有正负号。这个正负号取决于元素选取的顺序，具体由排列的逆序数决定。 2. 计算n阶行列式通常采用展开法，例如，拉普拉斯展开或克拉默法则。行列式简记为det(A)，或者更直观地表示为将矩阵元素aij写成两行，中间用竖线隔开的形式。 3. 阶行列式是n个元素的代数和，每个元素的系数是+1或-1，具体取决于元素的选择顺序。 4. 一阶行列式只是一个数，没有正负号问题；而二阶行列式是一个二项式，可以视为两个数的差。 5. 三角形行列式（Diagonal Matrix）的行列式等于对角线上元素的乘积。 6. 范德蒙德行列式（Vandermonde Determinant）是一种特殊的n阶行列式，形式上是各列元素的差的乘积。 方阵的行列式有以下运算性质： 7. 方阵与其转置的行列式相等，即det(A) = det(A^T)。 8. 方阵的行列式乘以其自身的行列式等于其平方的行列式，即det(A^2) = (det(A))^2。 9. 两个方阵的乘积的行列式等于各自行列式的乘积，det(AB) = det(A) * det(B)。 10. 方阵的行列式为零意味着该方阵不可逆，即存在非零向量使得Ax=0。 代数余子式（Cofactor）是行列式中去掉某一行和某一列后剩余部分的行列式，带有正负号。代数余子式的重要性质包括： 1. 如果交换行列式的任意两行或两列，那么行列式的值会改变符号，即det(A) = -det(PAP^T)，其中P是行交换矩阵。 2. 行列式可以通过代数余子式快速计算，利用Leibniz公式或者按行（列）展开。 在实际应用中，行列式被广泛用于解决线性方程组的解的存在性和唯一性，判断矩阵是否可逆，以及计算矩阵的逆等。掌握行列式的基本性质和计算方法是线性代数学习的关键部分。