重新理解动态规划：生活实例与贪心策略的局限

动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种算法设计技术，主要用于解决优化问题，特别是那些具有重叠子问题和最优子结构特性的复杂问题。在处理这类问题时，动态规划通过将大问题分解成一系列子问题，并存储和重用子问题的解，避免重复计算，从而提高效率。 动态规划的意义在于： 1. **解决问题的策略**：动态规划并非简单的贪心算法，它是一种全局最优的策略，不同于贪心算法的局部最优。在贪心策略中，我们追求每一步的局部最优解，但动态规划关注的是整个问题的全局最优解。例如，上述钞票问题中的贪心策略可能导致不必要的钞票组合，而动态规划则能找到最少张数的正确组合。 2. **递归与自底向上计算**：动态规划通常采用递归或分治的方法，从问题的最小子问题开始，逐步构建解决方案，最终形成整个问题的最优解。这与贪心算法不同，后者往往是从问题的顶部（大问题）开始并逐步向下推进。 3. **子问题重用**：动态规划的一个关键特性是缓存子问题的解，避免重复计算。在解决更大规模的问题时，已求解过的子问题可以直接利用，节省了大量计算时间。 4. **适用范围广泛**：动态规划广泛应用于计算机科学的多个领域，如图论（如DAG最短路径问题）、数学优化、机器学习（如贝叶斯网络）和自然语言处理等。它的应用包括序列搜索、背包问题、最长公共子序列、最短路径、矩阵链乘法等。 理解动态规划的过程通常涉及以下几个步骤： - **定义状态**：确定问题中需要求解的状态，通常是问题大小的函数。 - **划分阶段**：将问题分解为相互关联的子问题。 - **建立状态转移方程**：明确如何通过子问题的解来计算当前状态的最优解。 - **初始化**：定义初始状态和边界条件，即子问题的最小规模或特殊情况。 - **计算最优解**：按照状态转移方程，自底向上（从子问题到大问题）逐步求解。 动态规划是一种强大的工具，其核心价值在于通过合理的子问题划分和记忆机制，有效地解决了那些看似复杂但实际上存在规律可循的优化问题。掌握动态规划不仅有助于提升算法设计能力，还能在实际项目中解决许多实际问题，提升效率和性能。