随机信号分析基础复习题纲：概率论到频域分析

《随机信号分析基础》是一本深入讲解随机信号理论的教材，该总复习题纲涵盖了概率论与随机信号分析的核心概念和重要知识点。以下是对部分内容的详细解析： 概率论基础 1. 概率空间：它是随机试验所有可能结果的集合，以及一个赋予每个结果的概率。概率是测量随机事件发生的可能性，包括条件概率、全概率公式和贝叶斯公式，它们是理解和处理随机现象的重要工具。 2. 随机变量：一维和二维实随机变量是随机现象的基本数学模型。一维随机变量如离散或连续随机变量，通过概率密度函数和概率分布函数描述其取值的可能性。边缘分布和联合分布是理解随机变量间关系的关键。 3. 数字特征：一维随机变量的期望（均值）、方差和均方值表示了随机变量的中心趋势和离散程度，它们之间存在特定的性质和关系。二维随机变量则涉及相关值、协方差和相关系数，描述两个随机变量的线性相关性。 4. 相关性与独立性：互不相关、统计独立和正交性是随机变量之间的重要概念。雅柯比变换用于处理随机变量函数的单值和双值变换，这对于随机信号分析中的随机过程处理至关重要。 随机信号的时域分析 1. 随机信号的定义：它既是时间的函数又是随机变量，可以从多个角度理解，如随机过程的样本函数、过程的状态以及无限维随机矢量的推广。 2. 随机过程与随机变量：样本函数反映了随机过程的具体表现，而过程的状态则是其所有可能取值的集合。它们与随机变量的关系在于，随机过程包含了随机变量的不同实例。 3. 统计特性：包括概率密度函数和概率分布函数，一维和二维都需要掌握。数字特征如期望函数、方差函数等分析信号的均值和波动性。 4. 平稳性和宽平稳性：这两个概念分别描述信号在时间和频率上的稳定性，对于信号分析和滤波有着重要意义。 5. 功率谱分析：随机信号的频域研究聚焦于功率谱密度，它是信号能量在频率域的分布，与总平均功率等物理量紧密相连。 随机信号的频域分析 1. 功率谱：非周期性随机信号没有傅里叶变换，但可以通过功率谱分析其频率成分。功率谱密度与总平均功率有直接联系。 2. 功率谱计算：包括一般公式和平稳信号的特定方法，如维纳—辛钦定理，用于求解信号的功率谱密度。 3. 联合平稳性：当两个随机过程在任意时间间隔上具有相同的功率谱时，它们是联合平稳的，这是信号分析中的一个重要假设。 高斯随机信号：以其概率密度函数的特定形式（高斯分布）而知名，这种信号在工程应用中尤为常见。一维和二维的高斯随机信号具有特定的性质，如对称性、正态分布等。 各态历经性：是描述随机过程时间不变性的一种方式，与平稳性不同，它强调信号的长期统计特性。判断条件涉及统计平均算子。 《随机信号分析基础》的内容涵盖了概率论基础、随机信号的时域和频域分析，以及关键的概念如随机变量、随机过程、平稳性、高斯性等，是深入理解随机信号处理和通信系统理论的基础材料。