由(1-1)式可算出 年末的本利和为
, 。 (1-3)
在(1-1)式和(1-2)式中,因含有未知函数 ,所以这是一个函数方程;
又由于在方程(1-1)中含有两个未知函数的函数值 和 ,在方程(1-2)中含有
未知函数的差分 ,像这样的函数方程称为差分方程。在方程(1-2)中,仅含未知函
数的函数值 的一阶差分,在方程(1-1)中,未知函数的下标最大差数是 ,
即 ,故方程(1-1)或方程(1-2)称为一阶差分方程。
(1-3)式是 在 之间的函数关系式,就是要求的未知函数,它满足差分方程(1-
1)或(1-2),这个函数称为差分方程的解。
由上例题分析,差分方程的基本概念如下:
含有自变量,未知函数以及未知函数差分的函数方程,称为差分方程。
由于差分方程中必须含有未知函数的差分(自变量、未知函数可以不显含),因此
差分方程也可称为含有未知函数差分的函数方程。
例如 就是一个差分方程,按函数差分定义,任意阶的差分
都可以表示为函数 在不同点的函数值的线性组合,因此上差分方程又可分别表
示为 。正因如此,差分方程又可定义为
含有自变量和多个点的未知函数值的函数方程称为差分方程。差分方程中实际所含差
分的最高阶数,称为差分方程的阶数。或者说,差分方程中未知函数下标的最大差数,称
为差分方程的阶数。上方程为二阶差分方程。
阶差分方程的一般形式可表示为
, (1-4)
或 , (1-5)
由于经济学中经常遇到是形如(1-5)式的差分方程,所以以后我们只讨论由(1-5)
式的差分方程。
若把一个函数 代入差分方程中,使其成为恒等式,则称 为差分方
程的解。含有任意常数的个数等于差分方程的阶数的解,称为差分方程得通解;给任意常
数以确定值的解,称为差分方程得特解。用以确定通解中任意常数的条件称为初始条件。
一阶差分方程的初始条件为一个,一般是 ( 是常数);二阶差分方程的初
始条件为两个,一般是 , ( , 是常数);依次类推。