Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，30埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章一类有理差分方程组A.Q. Khan*，M.N. Qureshi数学系，阿扎德查谟和克什米尔大学，穆扎法拉巴德13100，巴基斯坦接收日期：2014年2月26日;修订日期：2014年8月16日;接受日期：2014年2015年2月9日在线发布摘要本文研究了一类二阶有理差分方程组的定性性态。更具体地说，我们研究了这类系统的平衡点、平衡点的局部渐近稳定性、平衡点的不稳定性、平衡点的全局性、正解的周期性和正解的收敛速度。数值例子验证了我们的理论结果。2010年数学学科分类：34C99; 39A10; 39A99; 40A05？2015制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 引言和附录最近，人们对研究质量有很大的兴趣Bajo和Liz[5]研究了差分方程的全局行为：x¼ xn-1;有理差分方程的性质对于一个系统来说-n1一个bxn-1xn有理差分方程的自动化研究我们参考了[1在参考文献中。[16近年来，研究全局吸引性、有界吸引性和非线性吸引性的研究引起了人们的极大兴趣性、周期性及非线性方程的解形式对于实参数a的所有值;b.Aloqeili[6]讨论了差分方程解的稳定性和半周期行为x¼xn-1;n <$0; 1;.. . ;差分方程n1a-xn-1xnq这项工作得到巴基斯坦HEC的支持* 通讯作者。电子邮件地址：abdulqadeerkhan1@gmail.com（A.Q.Khan），nqureshi@ajku.edu.pk（M.N. 库雷希）。具有实数初始条件和正实数a。受上述研究的启发，本文的目的是研究以下二阶有理差分方程组的定性行为：X¼axn-1;y¼a1yn-1;n¼ 0; 1;. ;100%n1b-cy yn1b-cx x同行评审由埃及数学学会负责和n n-11 1n n-1x¼ayn-1; y<$a1xn-1; n <$0; 1;. ;200万n1b-cxxn1b-c y yhttp://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.08.007n n-11 1n n-11110- 256 X？ 2015制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表制作和主办：Elsevier关键词有理差分方程;稳定性;全局性;收敛有理差分方程的整体动力学31BCx;yi 我@AðÞ！ 1k·kðÞ你好！1ðÞ你好！ 你好！ 1ðÞ1 0 00ðÞ-CA01100 ×100×100 ×100B.C蕴含对所有n>0，k ∈xn;yn∈ -x∈y∈ ke，其中k · k稳定的，如果存在g>0，ð¯x；¯yÞk
0。那么所有的根的多项式Pk位于开单位圆盘jkj内当且仅当Dk> 0，对于k<$0;1;. . ，其中Dk是主子式y<$g<$x; x;y; y<$; n <$0;1;.. . ;n×n矩阵的k阶其中f：I2× J2！ I和g：I2× J2！ J连续0Ba1A3A5. . . 01C可微函数和I;J是实（3）唯一地由初始条件决定：a0级 a2 a4B......0 C号码此外，解f ∈xn;yn∈ g1n1 系统Dn¼0a1a3.0：04分对于i2 f-1; 0g.与系统（3）一起，我们考虑对应的向量映射F1/2f;x n;x n-1;g;y n;y n-1n。（3）的平衡点是满足以下条件的点：x<$$>fx<$$>;x<$;y<$$>;y<$$>gx<$;x<$;y<$;y<$;点fx;y也称为向量映射F的不动点。定义1. 设x′;y′是系统（3）的平衡点。(i) 如果对每个e>0，存在d>0，使得对每个初始值，我1/4-1我000...a n下面的结果给出了收敛速度，差分方程组的解Xn1AB n Xn;5其中Xn是m维向量，A2 Cm×m是常数矩阵，B：Z！ Cm×m是满足kB<$n<$k的矩阵函数！0ð6Þ其中表示与向量范数相kx;y k<$px2y2：条件xi;y;i2f-1;0g0xi;y- <$x;<$yd是R2中通常的欧几里得范数。(ii) 一个平衡点<$x;<$y被称为不稳定的，如果它是不稳定。（6）保持。如果Xn大n或是（5）的解，则Xn所有人的1/4(iii) 平衡点<$x;<$y被称为渐近-0q<$lim kXnk1=n 7存在且等于一个特征值的模，矩阵A.(iv) 一个平衡点x;y称为全局吸引子，如果x n;yn<$x;<$yasn.(v) 平衡点<$x;<$y称为渐近全局吸引子，如果它是一个全局吸引子和稳定的。第二项提案[20]。 假设条件（6）成立。 如果X n是（5）的解，则对于所有大的n，X n <$0或q<$limkXn1kð8Þ你好！1k X n k定义2. 设x;y为地图的平衡点F f; xn; xn-1; g; yn; yn-1;存在且等于矩阵A的特征值之一的模。其中f和g是连续可微函数，2. 在系统上xn1¼axn-1 ;y¼a1yn-1是的。（3）关于平衡点的线性化系统b-cynyn-1n1b1-c1xnxn-1是的Xn= 1/4Fn= 1/4FJ Xn;在本节中，我们将研究系统（1）的定性行为。设系统（1）的平衡点为x;y′，0x 1xn-1J则对于b>a和b1> a1系统（1）具有以下两个. qq;-.其中XnB、C和F是雅可比矩阵，平衡点P01/2; 0/2;P1/2b1-a1bac1c系统（3）关于平衡点;y。xn;xn-1;yn;yn-1其中f1/4axn-1 ，f ¼xn;g¼a1yn-1;g ¼ y.的引理1[2]. 对于系统X n1<$FX n;n<$0; 1;. 的b-cynyn-11b1-c1xnxn-11n这类差分方程设X是F的一个不动点如果所有若X的Jacobian矩阵JF的特征值落在开单位圆盘jkj1<内，则X是局部渐近稳定的. 如果其中一个的范数大于1，则X是不稳定的。关于不动点x<$;y<$的雅可比矩阵，式（14）由下式给出：00d1d2d21BC引理2[3]. 假设Xn1 ^^ . 是一FJx<$;yB@;d3d30d40 0 1 0n1nn-1nn-1.....命题1（Perron假设这个条件32A.Q. Khan，M.N.Qureshi差分方程组，X是平衡点有理差分方程的整体动力学33¼-.拉瓜-10xn-1 0 0 01Bþð ÞBBxn-1 0 001XXnnn¼-11B1n1@一000a11001 0Pk的根是k¼a;k¼的1. 因此通过1Xn设f ∈xn;yn∈g1n@ yn 一@lL20 1A-1¼¼其中d1¼a ，d2¼acxy ，d3¼a1c1x ，d4¼的1.. qa1-b1qa-bb-cy<$22.1. 主要结果b-cy<$2b1-c1x<$2b1-c1x<$2正平衡点不稳定HC1C是定理1.设ab和a1b1，则每个解<<系统（1）的fxn;yn∈ g1n 1/4 -1是有界的。2.2. 全球性质定理4. 让一个0; 0<$0的线性化系统由下式给出：Xn= 1/4 FJ= 0;0 × Xn;这意味着y2 n<$1-q<$a<$1<$>;qb<$1-q<$a<$1是不稳定的。1 12 11 11 2c1c证据 关于平衡的（1）点X′;Y′;qb1-a1;qb-a由下式给出：由式（12）和式（13）可知，对于i 1，有pi;qi0; 2。这是一个矛盾因此，系统（1）没有素数周期2解。H2.3. 收敛速度c1cXn= 1¼ FJn =1 Xn;0 1 0nJ1我们研究了一个解的收敛速度，1趋近于系统（1）的平衡点θ 0;0 θ。是系统（1）的任何解，式中，X <$BC和F<$P <$<$BC。2yn-10 0 10那个林啊！1xn<$x′，和li mn！1yn<$y<$. 为了找到误差项，一个来自系统（1）11FJP1的特征多项式由下式给出：xn1-xXAixn-i-x;第四章— 2012年1月1日-2l1l2k1-l1l2;111/41y-y¼Cx1/41— xDy206xn6x-1;如果n<$2m<$1;06岁，无6y0;如果n<$2m<$2：1n-1ynyn-1定理5. 系统（1）没有素数周期2解。01 l1L1¼121234A.Q. Khan，M.N.Qureshi一nn— 你好：其中l11qca-ba1-b 1和l1C12的1qc1a-ba1-b1。听清楚了Cn1我1/4n-i1/4我n-i1 2不是所有的Dk>0，对于k1;2;3;4。因此，通过引理2，集合e和e，有有理差分方程的整体动力学35巴恩1/4bc¼222n1ðÞX1X1><一B1B1b-cy yÞðb-cy¯2Þ0b-cx xÞðb-cx¯2Þ1b-cx xÞðb-cx¯2Þn n-1D0¼0，D1¼一11.1 n n-11111 n n-111n@e2一0a2b-cy<$acxyyb-cy<$2acxyyb-cy<$2@a1 c1xyyb1-c 1x<$2a1c1xyyb1-c1x<$20a12b1-c 1x¯>þX1X1e1我的8 .第八条。一个200万美元的。阿萨姆;if n<$4m<$1;n1¼e2A E1n-iBi e2;n-i1b b11>1/41/4> . 1000 美元。阿萨姆n1in-iin-ii06x6> . Σ.布勒姆1/41/4一m1a1x-1;如果n<$4m<$3;其中A0¼0;A1一— nnn-1 ，B0acx<$yn-1b-cynyn-1，B1¼¼þCE1DE2;y0;如果n<$4m<$2;36A.Q. Khan，M.N.Qureshi1/4，1b b1>.Σacx<$y<$，C<$a1c1y<$xn-1，Ca1c1xyy>：。a100万美元 一有理差分方程的整体动力学37-1C¼ ðÞB1bb1¼ ðÞ0B1（2）下列结果成立：一(i)如果ab和a1b1，那么平衡点P0 1/20; 01/2<. ama1xM140A.Q. Khan，M.N.Qureshi;if n<$4m<$1;有理差分方程的整体动力学41一 ，limn！1B01/4li mn！1B1¼acx ， limn！1C01/4limn！1b b1>42A.Q. Khan，M.N.Qureshib-cy<$b-cy<$2有理差分方程的整体动力学43>.Σ44A.Q. Khan，M.N.QureshiC1¼a1c1x 、li mn！1D0¼0，limn！1D1¼a1二、所以> . aaa1有理差分方程的整体动力学45m146A.Q. Khan，M.N.Qureshib1-c 1x<$2b1-c1x¯. - 是的 m有理差分方程的整体动力学49En1¼ KEn;0 1
