非线性差分方程正解的研究

dx-exn-kn-lJournal of the Egyptian Mathematical Society（2015）23，494埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章关于非线性有理差分方程xn<$1<$$> Axn<$Bxn-k<$Cxn-1<$bxn-kM.A. El-Moneama，*，E.M.E.扎耶德湾a沙特阿拉伯吉赞大学Farasan科学和艺术学院数学系b埃及扎加齐格大学理学院数学系收稿日期：2014年6月11日;接受日期：2014年2015年2月11日在线发布本文研究了一类非线性差分方程正解x¼轴 BxCxbxn-k;n<$0; 1; 2;.n1nn-kn-1dxn-k -exn-l其中，系数A;B;C;b;d;e2 =0;10，而k和l是正整数。初始条件x-l;.. . ;x-k;.. . ;x-1;x0是任意正实数，使得kl.<一些数值例子将被用来说明我们的结果。2010年数学学科分类：39A10; 39A11; 39A99; 34C99？2015制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍差分方程的定性研究是一个非常丰富的研究领域，越来越受到数学家的重视。这个主题的重要性来自于这样一个事实，即许多现实生活中的现象都是用差分方程建模的。经济学、生物学等方面的例子见[1众所周知，非线性差分方程能够*通讯作者。电 子 邮 件 地 址 ： mabdelmeneam2014@yahoo.com （ 硕 士 ） El-Moneam），e.m.e. hotmail.com（E.M.E. Zayed）。同行评审由埃及数学学会负责产生一个复杂的行为，而不管它的顺序。 这可以从族xn<$11/4gl<$xn<$，l>0，nP0中很容易看出。 这种行为的范围根据l的值，从存在有界数量的周期解到混沌。非线性差分方程的全局吸引性、有界性和周期性一直是人们研究的热点。例如，文[7 - 13]中得到了与之密切相关的全局收敛性结果，这些结果可应用于非线性差分方程，证明了这些方程的每一个解都收敛于一个周期为2的解。其他密切相关的结果（见[14-23]）和其中引用的参考文献。这些方程的研究是具有挑战性和有益的，仍然处于起步阶段。我们认为非线性有理差分方程本身是极其重要的. 此外，这些方程的结果为发展http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.11.0021110- 256 X？ 2015制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表制作和主办：Elsevier关键词差分方程;素周期二解;有界性;局部渐近稳定;全局吸引子;全局稳定性非线性有理差分方程495e¼ ¼¼e e ee e ee e e0 12eJ Jeeeeeeee--e2ee¼ee21eee eee½ð þþ- [英语泛读材料e对于所有n个P¼-f g1据说半ABC-1]e-d-p。序列xn平衡点Eq. （二）、则以下语句是n1非线性差分方程整体性态的基本理论。本文的目的是研究非线性差分方程解的一些定性行为bxn-k如果r是具有这个性质的最小正整数，那么它是周期性的，周期为素数r定义4.当量（2）称为持久有界的，如果存在数m和M，其中0 0 ， 存 在 d>0 ， 使 得 ， 如 果x-l;.. . ;x-k;.. . ;x-1;x02<$0;1 <$ ， 其 中 jx-1-xj<$···<$jx-k-xj<$···<$jx-1-xj<$jx0-xjd，则jxn-xj< 0使得，如果x-l;…;x-k;.. . ;x-1;x02 <$0;1，jx-l-xj. jx-k-xj jx-1-xj定理2[3]. 设q0，q1和q22R. 然后jq0j jq1j jq2j1;5<是方程渐近稳定的充分条件（二）、定理3[2]. 考虑Eq. （二）、 设xi是方程的平衡点。（二）、还假设(i) F是一个非减函数，在它的每一个参数。(ii) 函数F满足负反馈性质 0，则方程的唯一正平衡点x为：（1）由定义3. 一个序列fxng1n周期r，如果xnl被认为是周期性的，x/be：1000e对于所有nPkPl.X1/4F/10;x;x;n<$0; 1; 2;.ð2Þnn-k个n- 1真的1/4x恩布尔n¼- l496M.A. El-Moneam，E.M.E. 扎耶德¼¼12- ðþÞþ¼J 吉吉 j j j- Þþ þ þ¼B其中E因此，方程的线性化方程（1）关于xe2@u11P-Q现在让我们引入一个连续函数F：100;103-！00：00：00这是一个定义bu1证据根据定理5的证明，我们推出：如果k和l都是奇正整数，则xn<$1×n-k×n-l。它来自Eq。（1）Fu0;u1;u2uAu0Bu1Cu2u -eu;8提供du1 因此，我们得到8>@Fex;ex;exAq;P¼AQBCP-e-d;16和@u00><>@Fex;ex;exB-e½ABC-1]q;ð9ÞBQ¼AP BC Q-e-d：1717>：@Fex;ex;exCe½ABC-1]q;从（16）中减去（17），我们得到采取的形式从A B C1这是一个矛盾-第这样，证明就完成了。Hzn 1-q0zn-q1zn-k-q1zn-l 1/40;10其中q0，q1和q2由（9）给出。定理4. 假设ejAe-djjBe-d-e½ABC-1]jjCe-de½ABC-1]j 0。证据 如果k是偶数，l是奇数正整数，则xn^xn-k且xn= 1/4xn-1。它来自Eq。（1）BQP¼ABQCP-eP-dQ;20和3. 周期解在这一节中，我们研究了方程的周期解的存在性。（一）.以下定理陈述了必要和充分条件-BPQ¼ABPCQ-eQ-dP：21因此，我们得到eP2-dPQ¼eABPQ-dABQeCP条件是Eq。（1）有素周期为2的周期解。和-CdPQ-bQ;222毫克定理5. 如果k和l都是偶数，则等式（1）没有素数周期二解。证据 假设存在不同的正解eQ2-dPQ 1/2eQABPQ-dABP2eCQ2- CdPQ-bP：1023 ppm通过从（22）中减去（23），我们得到... ;P;Q;P;Q;.ð12Þ第二个时期的Eq。（一）.如果k和l都是偶数BPQe1-C-dAB];24小时整数，则xn¼xn-k¼xn-l。 它来自Eq。 （1）BPABCQ-e-d;13和其中e1-C-dAB>0。通过增加（22）和（23），我们获得eb21CPQ[1-[2-3-[2-BQABCP-e-d：1400ð25Þ其中C1。< 假设P和Q是两个不同的正整数从（13）中减去（14），我们得到P-Q从A B C 1这是一个矛盾。这样，证明就完成了。H二次方程t2-PIP-PQ-PIP因此，我们推断，2P定理6. 如果k和l都是奇正整数，且A≠ 1- B ≠ C，则等式（1）没有素数周期二解。将（24）和（25）代入（17），我们得到条件（19）。这样，证明就完成了。H2e- d@u2e- d2非线性有理差分方程497Dn-k个þ þ þð ÞDeD26bABC;33e- D.ΣþþB×。-Σ定理8. 如果k是奇数，l是偶数正整数，则等式（1）有素数周期二解，若条件 0。xN 1¼AxNBxN-kCxN-ldx-exN-1证据如果k是奇数，l是偶数，则6A B CbxN-k：35dxN-k-exN-1xn= 1/4×n-k和xn= 1/4 ×n-l。它来自Eq。（1）BPP¼ACQBP-eQ-dP;29但是，很容易看出，dx bBn-k个-exN-1Pb-e，则为和BQQ¼ACPBQ-eP-dQ：30xN 16ABCb-e：36同样，我们可以证明，xPb ABCbxN-k：37因此，我们得到N= 1ddxN-k -exN-1联系我们B1/2d1-B-eAC];231但是，可以看到dx我们得到n-k个-exN-16d2-be，那么对于d2其中d1-B-eAC>0，eb2ACBxN 1PdABCd2B2-be：1380PQ[1- 2 - 3 - 4- 5 -6 -7-8]2;ð32Þ从（36）和（38），我们推导出对于所有nPN，不等式（33）有效。至此，第（一）部分的证明就完成了。类似地，如果16xN6b，则我们可以证明部分（ii），即其中B1。<将（31）和（32）代入（27），我们得到条件（28）。这样，证明就完成了。H4. 解的有界性在这一节中，我们研究了方程正解的有界性。（一）.D为方便起见，在此省略。这样，证明就完成了。H5. 全球稳定在这一节中，我们研究了方程正解的全局渐近稳定性。（一）.定理9. 设fx ng是方程的解。（一）. 则定理10. 如果0 0。很容易验证的条件（i）dABC。d2-Be106xnðb-eÞ定理3. 现在让我们验证定理3的条件（ii）如下所示1/2Fx;x;x -x]x-xe。A对于所有nPN。(ii) 假设b>d，对于某个NP0，XB半ABC-1]e-dxN- 1×1... . ;x N-k1;. ;xN-1;xN2<$1;BDxe-d½ABC-1]-b2e- D是有效的，那么对于b-e1×½A<$B<$C<$-1]：b b b2Ad2-β-环糊精;对于所有nPN。ð34Þð40Þ由于0A B C 1和e<<½Fx;x;x -x]x-xe0：41¼498M.A. El-Moneam，E.M.E. 扎耶德3x102xn-1n-3eX2x.ey（n+1）=（A*y（n）+B*y（n−2）+C*y（n−4））+（（b*y（n−2））/（d*y（n−2）−e*y（n−4）的图10.7105x 103075.355300 50 100 150 200n-迭代图1xn= 11/4 300xn= 200xn= 200xn=100xn=450xn= 2。y（n+1）=（A*y（n）+B*y（n−2）+C*y（n−4））+（（b*y（n−2））/（d*y（n−2）−e*y（n−4）的图201816141210864200 50 100 150 200n-迭代30xn-220xn-4图3xn 1¼0：4xn100：3xn-2100：2xn-45xn-2n-2n-4y（n+1）的图x 10306实施例2. 图2显示了Eq. （1）没有主周期214如果k<$1，l<$3，x-3， 1/4，x-21/42，x-11/43，x0四分之四，1210864200 50 100 150 200n-迭代图 2x n1¼ 100 x n50 x n-125 x n-35 xn-1。根据定理3，x是全局吸引子。这样，证明就完成了。H把定理4和10结合起来，我们就有了这个结果。定理11. 由等式（7）给出的平衡点x （1）是全局渐近稳定的。6. 数值算例为了说明前一节的结果并支持我们的理论讨论，我们在本节中考虑一些数值例子。这些例子代表了不同类型的定性行为的解决方案的方程。（一）.例1. 图1显示了Eq. （1）若k1/2，l1/4，x-41/4，x-31/2，x-21/3;x-11 1/ 4 ， x01/5 ， A 1/4300 ， B1/4200 ， C1/4100 ，b1/450，d1/430，e 1/420，则无素数周期2解.A 1/4100，B1/4 50，C1/4 25，b 1/4 5，d1/4 3，e 1/4 2。实施例3. 图3显示了Eq. （1）是全局渐近稳定的，如果x-41/4，x-31/4 2，x-21/4，x01/45，A： 4，B： 3，C： 2，b：5，d：1，e：2。7. 结论讨论了非线性有理差分方程的一些性质。（1），即该方程正解的周期性、有界性和全局稳定性。我们给出了一些数值来说明这些解的行为。本文的结果比文献[1]中的结果更一般化。[24注意，示例1验证了定理5，定理5表明，如果k和l都是偶数，则等式2 （1）没有素数周期二解。但例2验证了定理6，定理6表明，如果k和l都是奇数，则等式2成立。（1）没有素数周期2的解，而例3证明了定理11，定理11表明方程（1）没有素数周期2的解。（1）是全局不对称稳定的。致谢作者希望感谢推荐人的建议和评论。引用[1] R.德沃，S.W.舒尔茨，对的动力学的xn1¼bx ncx n-1=Bx nDx n-2 ， Commun. 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