用待定系数法求一阶常系数线性非齐次差分方程yₜ₊₁-yₜ=1的特解与通解。
时间: 2024-05-26 21:17:07 浏览: 21
我们假设一阶常系数线性非齐次差分方程的通解形式为 yₜ = A rₜ,其中 A 和 r 都是待定系数。将该通解代入非齐次差分方程 yₜ₊₁ - yₜ = 1 中,得到:
A r^(t+1) - A r^t = 1
化简得:
A (r^(t+1) - r^t) = 1
由于这是一个等比数列,当公比不为 1 时,可以使用待定系数法求解。因此,我们需要先求解齐次差分方程 yₜ₊₁ - yₜ = 0 的通解。
对于齐次差分方程 yₜ₊₁ - yₜ = 0,它的特征方程为 r - 1 = 0,解得 r = 1。因此,齐次差分方程的通解为 yₜ = C₁,其中 C₁ 是一个常数。
接下来,我们需要求解非齐次差分方程的特解。由于右侧是一个常数,我们可以假设特解为 yₜ = k,其中 k 也是一个待定系数。将该特解代入非齐次差分方程 yₜ₊₁ - yₜ = 1 中,得到:
k - k = 1
化简得:
0 = 1
显然,上式不成立,因此我们需要修改特解的形式。由于右侧是一个常数,我们可以假设特解为 yₜ = kt + c,其中 k 和 c 都是待定系数。将该特解代入非齐次差分方程 yₜ₊₁ - yₜ = 1 中,得到:
k (t+1) + c - kt - c = 1
化简得:
k = 1
因此,特解为 yₜ = t + c,其中 c 是一个待定常数。
综上所述,一阶常系数线性非齐次差分方程yₜ₊₁-yₜ=1的通解为:
yₜ = C₁ + t + c,
其中 C₁ 和 c 都是常数。
相关问题
用待定系数法求一阶常系数线性非齐次差分方程yₜ₊₁-yₜ=1的齐次差分方程的通解
首先,我们需要找到齐次差分方程的特征根。设齐次差分方程的通解为yₜ=c₁rₜ,其中c₁为待定系数,r为特征根。将其代入原方程可得:
c₁r^(t+1) - c₁r^t = 0
化简得:
c₁(r-1) = 0
因为要求齐次差分方程的非零解,所以r≠1。因此c₁=0,齐次差分方程的通解为yₜ=c₂,其中c₂为待定系数。
接下来,我们需要求出非齐次差分方程的特解。根据待定系数法,我们猜测特解为yₜ=k,其中k为待定系数。将其代入原方程可得:
k - k = 1
化简得:
0 = 1
显然这个猜测是错误的,因此我们需要猜测新的特解。由于原方程右侧为常数1,我们猜测特解为yₜ=k₁,其中k₁为另一个待定系数。将其代入原方程可得:
k₁ - k = 1
化简得:
k₁ = k + 1
因此特解为yₜ=k₁=k+1。
最终的通解为齐次方程的通解加上非齐次方程的特解,即:
yₜ = c₂ + k + 1
其中c₂和k为待定系数,可以根据初始条件求解。
例11 求 yₜ₊₂-2yₜ₊₁-3yₜ=3ᵗ 的通解.
对于这个线性非齐次差分方程,首先需要求出其对应的齐次线性差分方程的通解,然后再利用待定系数法求出其特解,两者相加就是原方程的通解。
先考虑对应的齐次线性差分方程:
yₜ₊₂ - 2yₜ₊₁ - 3yₜ = 0
设通解为 yₜ = λⁿ,代入得到:
λⁿ₊₂ - 2λⁿ₊₁ - 3λⁿ = 0
化简得到:
λ² - 2λ - 3 = 0
解得:
λ₁ = -1,λ₂ = 3
齐次线性差分方程的通解为:
yₜ = c₁(-1)ᵗ + c₂(3)ᵗ
接下来,利用待定系数法求非齐次线性差分方程的特解。假设特解为 yₜ = At, 代入原方程得到:
A(t+2) - 2A(t+1) - 3At = 3ᵗ
化简得到:
At² + (2A-3)t - 3A = 3ᵗ
由于右边是 3ᵗ,所以特解中 t 的最高次数是 1,代入得到:
2A - 3 - 3A = 0
解得:
A = -3
特解为:
yₜ = -3t
将通解和特解相加,得到非齐次线性差分方程的通解:
yₜ = c₁(-1)ᵗ + c₂(3)ᵗ - 3t
其中 c₁ 和 c₂ 是常数,由初始条件确定。
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