分别用待定系数法，微分算子法，常数变易法，matlab法解方程y'' +p(x)y' + q(x)y =f(x)

1. 待定系数法：

首先，我们假设方程的通解为 y = y_h + y_p，其中 y_h 是对应齐次方程 y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 的通解，y_p 是非齐次方程的一个特解。

设非齐次项为 f(x)，特解为 y_p = A(x)e^{\alpha x}，其中 A(x) 为待定函数，\alpha 为待定常数。

将 y_p 代入方程得到：

(A''(x) + 2\alpha A'(x) + \alpha^2 A(x))e^{\alpha x} + p(x)(A'(x)e^{\alpha x} + \alpha A(x)e^{\alpha x}) + q(x)A(x)e^{\alpha x} = f(x)

将 e^{\alpha x} 提出来得到：

e^{\alpha x}(A''(x) + 2\alpha A'(x) + (\alpha^2 + p(x)\alpha + q(x))A(x)) = f(x)

由于等式两边的函数形式相同，因此括号中的系数必须相等，即：

A''(x) + 2\alpha A'(x) + (\alpha^2 + p(x)\alpha + q(x))A(x) = 0

这是一个常系数二阶齐次线性微分方程，可以用常数变易法或特征方程法求解。假设其通解为 A(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)，其中 y_1(x) 和 y_2(x) 是方程的两个线性无关解。

因此，方程的通解为：

y = y_h + y_p = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) + A(x)e^{\alpha x}

其中 y_h 是对应齐次方程的通解，A(x) 和 \alpha 是待定常数，需要通过待定系数法确定。

2. 微分算子法：

将方程左侧看作一个微分算子 L，即 L[y] = y'' + p(x)y' + q(x)y，方程可以写成 L[y] = f(x)。

设 L 的伴随算子为 L^*，则 L^*[e^{\int p(x)dx}y] = e^{\int p(x)dx}(y'' + p(x)y' + q(x)y)。

由于 L 和 L^* 互为伴随算子，因此 L^*[e^{\int p(x)dx}y] = e^{-\int p(x)dx}(e^{\int p(x)dx}y)''

将方程左侧的微分算子改写为 L^*，得到：

(e^{-\int p(x)dx}(e^{\int p(x)dx}y)'') + e^{-\int p(x)dx}q(x)e^{\int p(x)dx}y = e^{-\int p(x)dx}f(x)

令 z = e^{\int p(x)dx}y，得到：

z'' + (q(x) - p'(x))z = e^{-\int p(x)dx}f(x)

这是一个常系数二阶齐次线性微分方程，可以用常数变易法或特征方程法求解。设其通解为 z = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)，其中 y_1(x) 和 y_2(x) 是方程的两个线性无关解。

因此，方程的通解为：

y = e^{-\int p(x)dx}(C_1y_1(x) + C_2y_2(x)) + e^{-\int p(x)dx}\int f(x)e^{\int p(x)dx}dx

其中 y_1(x) 和 y_2(x) 是方程的两个线性无关解，C_1 和 C_2 是待定常数，需要根据初始条件确定。

3. 常数变易法：

设方程的通解为 y = u(x)y_1(x) + v(x)y_2(x)，其中 y_1(x) 和 y_2(x) 是方程的两个线性无关解，u(x) 和 v(x) 是待定函数。

将 y 带入方程得到：

u''y_1 + v''y_2 + (2u'y_1' + 2v'y_2' + pu'y_1 + pv'y_2 + q(u y_1 + v y_2)) = f(x)

由于 y_1(x) 和 y_2(x) 是方程的两个线性无关解，因此有：

u'y_1' + v'y_2' = 0 （1）

pu'y_1 + pv'y_2 = 0 （2）

解方程组（1）和（2）得到：

u = \int \frac{-v'y_2}{y_1'y_2' - y_1y_2''}dx

v = \int \frac{-u'y_1}{y_1'y_2' - y_1y_2''}dx

其中，分母 y_1'y_2' - y_1y_2'' 称为 Wronskian，记为 W(y_1,y_2)。

代入 y = u(x)y_1(x) + v(x)y_2(x) 得到方程的通解。

4. Matlab法：

在Matlab中，可以使用ode45函数求解常系数二阶线性非齐次微分方程。需要将方程转化为标准形式，即：

y'' = -p(x)y' - q(x)y + f(x)

其中 p(x) 和 q(x) 是方程的系数，f(x) 是非齐次项。

定义一个匿名函数 dydx，其中 dydx(1) = y(2)，dydx(2) = -p(x)y(2) - q(x)y(1) + f(x)。使用ode45函数求解该方程即可。

例如，对于方程 y'' + 2y' + 2y = e^{-x}，可以定义如下的Matlab代码：

p = 2;
q = 2;
f = @(x) exp(-x);

dydx = @(x,y) [y(2); -p*y(2) - q*y(1) + f(x)];

[x,y] = ode45(dydx,[0 10],[1 0]); % 求解区间为 [0,10]，初始条件为 y(0) = 1，y'(0) = 0

plot(x,y(:,1)); % 绘制解析解 y(x) 的图像

注意，在使用Matlab求解微分方程时，需要指定求解区间和初始条件。