y的二重导数+y=3x的通解

这是一个二阶齐次线性微分方程，可以用特征方程法求解。具体步骤如下：

1. 写出特征方程 r^2 + 1 = 0，解得 r1 = i，r2 = -i。

2. 通解形式为 y = c1*cos(x) + c2*sin(x)，其中 c1 和 c2 是待定常数。

3. 对通解进行求导，得到 y' = -c1*sin(x) + c2*cos(x)，再次求导得到 y'' = -c1*cos(x) - c2*sin(x)。

4. 将 y 和 y'' 代入微分方程 y'' + y = 3x，得到 -c1*cos(x) - c2*sin(x) + c1*cos(x) + c2*sin(x) = 3x，消去相同项，得到 0 = 3x，显然无解。

因此，该微分方程没有满足条件的通解。

相关问题

∭ E e − ( x 2 + y 2 + z 2 ) √ x 2 + y 2 + z 2 d V , 其中 E 是由球体 x 2 + y 2 + z 2 = 1 和 x 2 + y 2 + z 2 = 9 界定的区域。

将积分区域 E 转换为球坐标系下的积分区域，有：

1 ≤ r ≤ 3

0 ≤ θ ≤ 2π

0 ≤ φ ≤ π

因此，可以将原积分转化为：

∫_0^π ∫_0^(2π) ∫_1^3 e^(-r^2) r^2 sinφ dr dθ dφ

由于积分区域对 θ 和 φ 没有限制，因此可以将二重积分提到最外层，得到：

∫_1^3 e^(-r^2) r^2 dr ∫_0^π sinφ dφ ∫_0^(2π) dθ

对于 ∫_0^π sinφ dφ，有：

∫_0^π sinφ dφ = [-cosφ]_0^π = 2

对于 ∫_0^(2π) dθ，有：

∫_0^(2π) dθ = 2π

因此，可以将原积分化简为：

∫_1^3 e^(-r^2) r^2 dr * 2π * 2

通过变量代换 u = r^2，可以将原积分化为：

∫_1^9 e^(-u) du * π

解这个积分，有：

∫_1^9 e^(-u) du = [-e^(-u)]_1^9 = e^(-1) - e^(-9)

因此，最终的积分结果为：

π * (e^(-1) - e^(-9)) * 4

或者：

4π / (e - e^(-9))

求下列曲面所围成的立体的体积 x=0, y=0，x+y+z=4，x=2，y=3用二重积分

我们可以通过画图来确定积分区域：

首先，我们将$x=0$和$y=0$这两个平面画出来，得到一个在第一象限的三角形区域。

然后，我们画出$x+y+z=4$这个平面，它与$x=2$和$y=3$分别相交于直线$x=2$和$y=3$，并在$(2,1,1)$处相交。因此，我们可以通过在三角形区域内沿着$z$轴从$0$到$4-(x+y)$来确定积分区域。

因此，我们得到积分区域为：

$$D=\{(x,y,z)|0\leq x\leq 2, 0\leq y\leq 3, 0\leq z\leq 4-(x+y)\}$$

现在我们可以写出积分式：

$$V=\iint_D dx dy \int_0^{4-(x+y)} dz=\int_0^3 dy\int_0^{2-y}(4-x-y)dx$$

接下来，我们可以对$x$进行积分：

$$\begin{aligned}\int_0^{2-y}(4-x-y)dx&=\left[4x-\frac{1}{2}x^2-yx\right]_0^{2-y}\\&=4(2-y)-\frac{1}{2}(2-y)^2-y(2-y)\\&=\frac{1}{2}y^2-2y+4\end{aligned}$$

于是，我们得到：

$$V=\int_0^3 \left(\frac{1}{2}y^2-2y+4\right)dy=\frac{9}{2}$$

因此，所求的立体体积为$\frac{9}{2}$。