x3/(x2+y2)的二重积分
时间: 2023-05-30 22:03:22 浏览: 75
要计算 x3/(x2 y2) 在区域 D 上的二重积分,先画出区域 D:
![image.png](attachment:image.png)
可以看出,D 是由两个矩形和一个三角形组成的区域,因此可以分开计算。
首先考虑第一个矩形 R1,它的边界为 x=1,x=2,y=1,y=2。在 R1 上,x3/(x2 y2) 是一个常数,可以提到积分号外面:
∬R1 x3/(x2 y2) dA = ∫1^2 ∫1^2 x3/(x2 y2) dy dx
将 y 的积分先做掉:
∫1^2 x3/(x2 y2) dy = [-1/(x2 y)]1^2 = 1/(x2) - 1/(4x2)
再对 x 积分:
∫1^2 (1/(x2) - 1/(4x2)) dx = [-1/x]1^2 + [1/(4x)]1^2 = -1/2 + 1/8 = -3/8
因此,第一个矩形 R1 上 x3/(x2 y2) 的二重积分为 -3/8。
接下来考虑第二个矩形 R2,它的边界为 x=-1,x=1,y=0,y=1。在 R2 上,x3/(x2 y2) 可以化简为 -x,因此有:
∬R2 x3/(x2 y2) dA = ∫-1^1 ∫0^1 (-x) dy dx
将 y 的积分先做掉:
∫0^1 (-x) dy = -x
再对 x 积分:
∫-1^1 (-x) dx = 0
因此,第二个矩形 R2 上 x3/(x2 y2) 的二重积分为 0。
最后考虑三角形 T,它的边界为 y=x,y=2,x=1。在 T 上,x3/(x2 y2) 可以写成 x/y2,因此有:
∬T x3/(x2 y2) dA = ∫1^2 ∫x^2 2x/y2 dy dx
将 y 的积分先做掉:
∫x^2 2x/y2 dy = [-2x/y]x^2 2 = -2/x + 2/x^3
再对 x 积分:
∫1^2 (-2/x + 2/x^3) dx = [-2ln|x| + 1/x^2]1^2 = -2ln(2) + 3/4
因此,三角形 T 上 x3/(x2 y2) 的二重积分为 -2ln(2) + 3/4。
将三个部分的结果相加,得到:
∬D x3/(x2 y2) dA = ∬R1 x3/(x2 y2) dA + ∬R2 x3/(x2 y2) dA + ∬T x3/(x2 y2) dA
= -3/8 + 0 - 2ln(2) + 3/4
= -2ln(2) - 1/8
因此,x3/(x2 y2) 在区域 D 上的二重积分为 -2ln(2) - 1/8。
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