设D是曲线y=|z|,y=1围成区域,则 D范围二重积分x平方乘以y等于多少()
时间: 2024-04-04 17:34:39 浏览: 19
根据题意,D 范围为 $y=|z|$ 和 $y=1$ 围成的区域,其中 $z=x+iy$,因此可以将 D 分为两部分,一部分为 $0\leqslant x\leqslant 1$,$0\leqslant y\leqslant x$,$y\leqslant 1$;另一部分为 $-1\leqslant x\leqslant 0$,$0\leqslant y\leqslant -x$,$y\leqslant 1$。根据对称性可知,这两部分的积分结果相同,因此只需计算其中一部分的积分。
对于第一部分,有:
$$\iint_D x^2 y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_0^1\mathrm{d}y\int_0^y x^2y\,\mathrm{d}x+\int_0^1\mathrm{d}y\int_y^1 x^2y\,\mathrm{d}x=\frac{1}{12}$$
对于第二部分,有:
$$\iint_D x^2 y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{-1}^0\mathrm{d}y\int_{-y}^0 x^2y\,\mathrm{d}x+\int_{-1}^0\mathrm{d}y\int_0^{-y} x^2y\,\mathrm{d}x=\frac{1}{12}$$
因此,整个积分的结果为:
$$\iint_D x^2 y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$$
相关问题
计算二重积分∫∫Dye^xydxdy,D是由x=2,y=2,xy=1所围成的平面区域
首先,我们需要确定积分区域D的范围。由于x=2,y=2和xy=1三条直线所围成的区域如下图所示:
![image.png](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/ed0p2h4i.png)
因此,我们可以将积分区域D表示为:
D={(x,y)|1/2<=xy<=2,x<=2,y<=2}
接下来,我们对积分式进行变形:
∫∫Dye^xydxdy = ∫1/2^2 ∫1/(2y) ^2 e^xydxdy
接着,我们对x进行积分:
∫1/2^2 ∫1/(2y) ^2 e^xydxdy = ∫1/2^2 [e^2y - e^(y/2)]/y dy
对y进行积分:
∫1/2^2 [e^2y - e^(y/2)]/y dy = [1/2(e^4 - e) - 2(e^2 - 1/2)]/2
因此,最终的结果是:
∫∫Dye^xydxdy = [1/2(e^4 - e) - 2(e^2 - 1/2)]/2
如果积分区域D是由圆周x^2+y^2=4所围成,则二重积分∫∫3dxdy等于什么
首先,圆周$x^2+y^2=4$可以表示为极坐标形式$r=2$。因此,积分区域可以表示为$0\leq r\leq 2, 0\leq \theta\leq 2\pi$。将积分区域代入原式,得到:
$$\iint_D 3dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^2 3r dr d\theta$$
解这个积分,得到:
$$\int_0^{2\pi} \int_0^2 3r dr d\theta = \int_0^{2\pi} \left[\frac{3}{2}r^2\right]_0^2 d\theta = \int_0^{2\pi} 6 d\theta = 12\pi$$
因此,二重积分$\iint_D 3dxdy$的值为$12\pi$。
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