计算二重积分 ∬ D ( x 2 + 2 y ) d A , 其中 D 是由 y = x , y = x 3 , 和 x ≥ 0. 界定的区域

首先，我们可以通过将不等式 $y=x$ 和 $y=x^3$ 相减来找到 $D$ 的界限：

$$y=x-x^3$$

然后，我们可以将 $D$ 分解成两个部分：一个在 $x$ 轴上的区域和一个在 $x$ 轴上方的区域。在 $x$ 轴上的区域的界限是从 $x=0$ 到 $x=1$，在 $x$ 轴上方的区域的界限是从 $x=1$ 到 $x=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$。因此，我们可以写出二重积分：

$$\iint_D (x^2+2y) dA = \int_0^1 \int_{x^3}^{x} (x^2+2y) dydx + \int_1^{\sqrt[3]{\frac{1}{2}}} \int_{x^3}^{x} (x^2+2y) dydx$$

计算积分，得到：

$$\frac{11}{60}$$