计算二重积分∬arctan𝑦/𝑥dxdy，其中区域D由曲线𝑥^2+𝑦^2=4，𝑥^2+𝑦^2=1及直线y=0，y=x所围成

首先画出区域D的图形：


可以看出，该区域可以表示为：

$$D=\{(x,y)|0\leqslant y\leqslant x\leqslant 1\}\cup\{(x,y)|x^2+y^2\leqslant1, y\geqslant0\}\cup\{(x,y)|x^2+y^2\leqslant4, y\leqslant0\}$$

因此，原积分可以表示为：

$$\iint_D\arctan\frac{y}{x}dxdy=\int_0^1\int_0^x\arctan\frac{y}{x}dydx+\int_{-1}^1\int_0^{\sqrt{1-x^2}}\arctan\frac{y}{x}dydx+\int_{-2}^0\int_{-\sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}}\arctan\frac{y}{x}dxdy$$

对于第一个积分，我们可以通过分部积分的方法来计算：

$$\begin{aligned}\int_0^x\arctan\frac{y}{x}dy&=\left[y\arctan\frac{y}{x}\Bigg|_0^x-\int_0^x\frac{y^2}{x^2+(y/x)^2}dy\right]\\&=x\arctan 1-\int_0^x\frac{y^2}{x^2+y^2}dy\\&=x\arctan 1-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)\end{aligned}$$

因此，第一个积分可以表示为：

$$\int_0^1\int_0^x\arctan\frac{y}{x}dydx=\int_0^1\left[x\arctan 1-\frac{1}{2}\ln(x^2+1)\right]dx=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\ln 2$$

对于第二个积分和第三个积分，由于被积函数是关于x和y对称的，因此可以通过对称性将其化为两倍的第二个积分：

$$\begin{aligned}\int_{-1}^1\int_0^{\sqrt{1-x^2}}\arctan\frac{y}{x}dydx&=2\int_0^1\int_0^{\sqrt{1-x^2}}\arctan\frac{y}{x}dydx\\&=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\sin\theta}\arctan\frac{\tan\theta}{x}xdx d\theta\\&=2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[\frac{\theta}{2}\ln\left(\sin^2\theta+x^2\right)\Bigg|_0^{\sin\theta}\right]d\theta\\&=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\left(\sin\theta\right)d\theta\end{aligned}$$

对于最后一个积分，可以通过极坐标变换来计算：

$$\begin{aligned}\int_{-2}^0\int_{-\sqrt{4-y^2}}^{\sqrt{4-y^2}}\arctan\frac{y}{x}dxdy&=\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}\int_0^{2\cos\theta}\arctan\frac{\sin\theta}{\cos\theta}rdrd\theta\\&=\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}\left[\frac{\theta}{2}\ln\left(\cos^2\theta+r^2\right)\Bigg|_0^{2\cos\theta}\right]d\theta\\&=\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}\frac{\pi}{2}\ln\left(4\cos^2\theta\right)d\theta\\&=\pi\ln 2\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}\cos^2\theta d\theta\\&=\frac{\pi^2}{4}\ln 2\end{aligned}$$

因此，原积分的值为：

$$\iint_D\arctan\frac{y}{x}dxdy=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\ln 2+\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln\left(\sin\theta\right)d\theta+\frac{\pi^2}{4}\ln 2$$