∫dx/(5x^2+2)
时间: 2024-06-01 20:04:09 浏览: 11
根据提供的引用内容,我们无法找到与题目相关的信息。但是,我们可以回答您提出的问题。
要求∫dx/(5x^2+2),我们可以使用代换法来解决它。令u=√(5/2)x,则du/dx=√(5/2)/2x,dx=2/√(5/2)du。将其代入原式中,得到:
∫dx/(5x^2+2) = ∫(2/√(5/2)du)/(5(√(2/5)u)^2+2) = ∫(2/√(5/2)du)/(5u^2+2)
接下来,我们需要将分母转换为一个可以使用反三角函数的形式。令a=√(10)u,则du/dx=1/√(10)x,dx=√(10)du。将其代入上式中,得到:
∫dx/(5x^2+2) = ∫(2/√(5/2)du)/(5u^2+2) = ∫(2/√(5/2)du)/(5(√(10)a/√(2))^2+2) = ∫(1/√2)du/(a^2+1)
现在,我们可以使用反正切函数来解决它。令b=a/√2,则a=√2b,da/dx=√2db/dx,dx=1/√2db。将其代入上式中,得到:
∫dx/(5x^2+2) = ∫(1/√2)du/(a^2+1) = ∫(1/√2)(√2db)/(2b^2+1) = (1/2)∫db/(b^2+(1/2)^2) = (1/√2)arctan(2b)
将b代入上式中,得到:
∫dx/(5x^2+2) = (1/√2)arctan(2a/√2) = (1/√2)arctan(√(10)x)
相关问题
∫1/(x^2+4)dx
To integrate 1/(x^2+4), we can use the substitution u = x/2. Then, du/dx = 1/2 and dx = 2du.
Substituting these into the integral, we get:
∫1/(x^2+4) dx = ∫1/((2u)^2+4) 2du
= ∫1/(4u^2+4) 2du
= ∫1/4(u^2+1) du
Using the formula ∫1/(a^2+x^2) dx = (1/a)tan^(-1)(x/a) + C, we can evaluate the integral:
= (1/4)tan^(-1)(u/1) + C
= (1/4)tan^(-1)(x/2) + C
Therefore, the antiderivative of 1/(x^2+4) is (1/4)tan^(-1)(x/2) + C.
计算∫dx/根号x^2-a^2
我们可以进行一些代数变形来求解这个积分。首先,我们可以将根号x^2-a^2写成a^2-x^2的形式,然后进行分解因式:
∫dx/根号x^2-a^2 = ∫dx/√(a^2-x^2)
= 1/√a^2 ∫dx/√(1-(x/a)^2)
现在我们可以使用反三角函数来计算这个积分。令u=x/a,则du/dx=1/a,于是我们可以进行变量代换:
∫dx/根号x^2-a^2 = 1/√a^2 ∫dx/√(1-(x/a)^2)
= 1/√a^2 ∫du/√(1-u^2/a^2)
= arcsin(u)/a + C
= arcsin(x/a)/a + C
因此,∫dx/根号x^2-a^2的积分结果为arcsin(x/a)/a + C。
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