利用Python的SymPy库中的函数求下列定积分 (1) ∫_0^π▒(1-〖sin〗^3⁡x )ⅆx (2) ∫_(-2)^0▒〖(x+2)/(x^2+2x+2) ⅆx〗

在Python中，我们可以使用SymPy库来计算这些定积分。首先，你需要安装SymPy，如果还没有安装，可以使用`pip install sympy`命令安装。

以下是利用SymPy计算这两个积分的代码示例：

from sympy import symbols, sin, sqrt, integrate

# 定义变量
x = symbols('x')

# 计算第一个积分
integral1 = integrate(1 - sin(x)**3, (x, 0, pi))
integral1_result = integral1.evalf()  # 评估数值结果
print(f"∫₀{pi}(1 - sin^3(x)) dx 的结果约等于: {integral1_result}")

# 计算第二个积分，这里注意到分母是一个完全平方，可以用sqrt替换
integral2 = integrate((x + 2) / (x**2 + 2*x + 2), (x, -2, 0))
integral2_result = integral2.evalf()
print(f"∫₋₂₀( x+2 )/( x²+2x+2 ) dx 的结果约等于: {integral2_result}")

运行这段代码后，你会得到两个积分的数值解。注意，`evalf()`函数用于将符号表达式转换为浮点数。

相关问题

利用Python的SymPy库中的函数求下列不定积分代码 (1) ∫sin⁡x/(1+sin⁡x+cos⁡x ) ⅆx (2) ∫1/x √((1+x)/x) ⅆx

使用Python的SymPy库计算这两个不定积分需要先安装 SymPy 库，如果你还没有安装，可以使用pip install sympy命令。接下来我会展示如何利用SymPy来求解这两个积分：

1. 对于∫(sin(x)/(1 + sin(x) + cos(x))) dx 的积分，你可以这样做：

import sympy as sp

# 定义变量
x = sp.symbols('x')
# 定义函数
integrand = sp.sin(x) / (1 + sp.sin(x) + sp.cos(x))
# 计算积分
integral1 = sp.integrate(integrand, x)
integral1

运行这段代码后会得到结果。

2. 对于∫(1/x * sqrt((1+x)/x)) dx，积分步骤类似：

# 定义新的函数
integral2_function = sp.Pow((1 + x) / x, 0.5) / x
integral2 = sp.integrate(integral2_function, x)
integral2

同样地，SymPy会返回积分的答案。

1. 利用 Python 的SymPy库中的函数求下列极限。 (1)limx→∞[(x3−x2+x2)e1x−x6+1]

在Python中，我们可以使用SymPy库来处理数学表达式和计算极限。首先，你需要安装 SymPy 库，如果还没有安装，可以使用`pip install sympy`命令安装。

对于给出的极限计算问题，即：

\[
\lim_{x \to \infty} \left[\frac{x^3 - x^2 + x^2}{e^{x - x^6 + 1}}\right]
\]

我们注意到分子 \(x^3 - x^2 + x^2\) 随着 \(x\) 趋向于无穷大会趋向于无穷大，而分母 \(e^{x - x^6 + 1}\) 中的指数项 \(e^x\) 会增长得非常快，远超过 \(x^6\) 的增长，因此整体上分母会比分子增长更快，导致整个表达式的极限为0。

下面是一个使用SymPy计算这个极限的例子：

import sympy as sp

# 定义变量x
x = sp.symbols('x')

# 构建表达式
expr = (x**3 - x**2 + x**2) / sp.exp(x - x**6 + 1)

# 计算极限
limit_result = sp.limit(expr, x, sp.oo)
limit_result.evalf()  # 使用evalf()获取数值结果

运行上述代码后，你会得到极限值近似为0的结果。这是因为随着 \(x\) 变大，\(e^x\)的增长速度远远超过了\(x^6\)的增速。