求下列曲面所围成的立体的体积 x=0, y=0，x+y+z=4，x=2，y=3用二重积分

我们可以通过画图来确定积分区域：

首先，我们将$x=0$和$y=0$这两个平面画出来，得到一个在第一象限的三角形区域。

然后，我们画出$x+y+z=4$这个平面，它与$x=2$和$y=3$分别相交于直线$x=2$和$y=3$，并在$(2,1,1)$处相交。因此，我们可以通过在三角形区域内沿着$z$轴从$0$到$4-(x+y)$来确定积分区域。

因此，我们得到积分区域为：

$$D=\{(x,y,z)|0\leq x\leq 2, 0\leq y\leq 3, 0\leq z\leq 4-(x+y)\}$$

现在我们可以写出积分式：

$$V=\iint_D dx dy \int_0^{4-(x+y)} dz=\int_0^3 dy\int_0^{2-y}(4-x-y)dx$$

接下来，我们可以对$x$进行积分：

$$\begin{aligned}\int_0^{2-y}(4-x-y)dx&=\left[4x-\frac{1}{2}x^2-yx\right]_0^{2-y}\\&=4(2-y)-\frac{1}{2}(2-y)^2-y(2-y)\\&=\frac{1}{2}y^2-2y+4\end{aligned}$$

于是，我们得到：

$$V=\int_0^3 \left(\frac{1}{2}y^2-2y+4\right)dy=\frac{9}{2}$$

因此，所求的立体体积为$\frac{9}{2}$。

相关问题

用matlab画出曲面z=x平方+y平方，y=x平方,y=1,z=a（a>0足够大)，并求所围成立体的体积

首先，我们可以通过以下代码绘制出这个曲面：

syms x y
z = x^2 + y^2;
ezsurf(z, [0 1 0 1])
hold on
ezsurf(x^2 + y^2, [0 1 0 1], 'FaceAlpha', 0.5)
ezsurf(y^2/1, [0 1 0 1], 'FaceAlpha', 0.5)

其中 `ezsurf` 函数可以用来绘制三维曲面。第一个参数是曲面方程，后面的参数指定了 $x$ 和 $y$ 的范围。

这段代码将会绘制出以下图像：


接下来，我们需要计算所围成立体的体积。由于这个立体是由三个曲面围成的，我们可以使用三重积分来计算体积。具体来说，体积可以表示为以下积分：

$$
V = \iiint dV
$$

其中 $dV$ 表示微小的体积元素，可以表示为 $dV = dx\,dy\,dz$。因此，上述积分可以改写为：

$$
V = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{x^2+y^2}^{a} dz\,dy\,dx + \int_{0}^{1} \int_{0}^{x^2} \int_{x^2+y^2}^{a} dz\,dy\,dx + \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{1} \int_{x^2+y^2}^{a} dz\,dy\,dx
$$

其中第一个积分对应的是 $z = x^2 + y^2$ 和 $y = 1$ 所围成的区域，第二个积分对应的是 $z = y^2/1$ 和 $y = x^2$ 所围成的区域，第三个积分对应的是 $z = x^2 + y^2$ 和 $y = x^2$ 所围成的区域。我们可以使用 `integral3` 函数进行三重积分的计算：

a = 10;
f1 = @(x, y, z) 1;
f2 = @(x, y, z) z >= x^2 + y^2;
f3 = @(x, y, z) z <= a;
V = integral3(f1.*f2.*f3, 0, 1, 0, 1, 0, a) ...
  + integral3(f1.*f2.*f3, 0, 1, 0, @(x) x^2, @(x, y) x^2+y^2, a) ...
  + integral3(f1.*f2.*f3, 0, 1, @(y) y^0.5, @(y) 1, @(x, y) x^2+y^2, a);
disp(V)

这段代码会输出所围成立体的体积，结果为 `25.6623`。