求下列曲面所围成的立体的体积 x=0, y=0，x+y+z=4，x=2，y=3用二重积分

我们可以通过画图来确定积分区域：

首先，我们将$x=0$和$y=0$这两个平面画出来，得到一个在第一象限的三角形区域。

然后，我们画出$x+y+z=4$这个平面，它与$x=2$和$y=3$分别相交于直线$x=2$和$y=3$，并在$(2,1,1)$处相交。因此，我们可以通过在三角形区域内沿着$z$轴从$0$到$4-(x+y)$来确定积分区域。

因此，我们得到积分区域为：

$$D=\{(x,y,z)|0\leq x\leq 2, 0\leq y\leq 3, 0\leq z\leq 4-(x+y)\}$$

现在我们可以写出积分式：

$$V=\iint_D dx dy \int_0^{4-(x+y)} dz=\int_0^3 dy\int_0^{2-y}(4-x-y)dx$$

接下来，我们可以对$x$进行积分：

$$\begin{aligned}\int_0^{2-y}(4-x-y)dx&=\left[4x-\frac{1}{2}x^2-yx\right]_0^{2-y}\\&=4(2-y)-\frac{1}{2}(2-y)^2-y(2-y)\\&=\frac{1}{2}y^2-2y+4\end{aligned}$$

于是，我们得到：

$$V=\int_0^3 \left(\frac{1}{2}y^2-2y+4\right)dy=\frac{9}{2}$$

因此，所求的立体体积为$\frac{9}{2}$。

相关问题

求下列曲面所围成的立体的体积.(1) x=0, y=0 ，x+y+z=4，x=2，y=3

首先画出所给曲面的图形：


可以看出，所给曲面围成的是一个四棱锥，因此我们可以利用四棱锥的体积公式来求解。

四棱锥的体积公式为：

$$
V = \frac{1}{3}S_hh
$$

其中，$S_h$ 表示四棱锥底面的面积，$h$ 表示四棱锥的高。

我们可以通过两个底面的面积相加再除以 $2$ 来求出底面面积 $S_h$。即：

$$
S_h = \frac{1}{2}(2\times 3 + 3\times 1) = 6
$$

接下来，我们需要求出四棱锥的高。由于四棱锥的高是垂直于底面的直线段，因此我们可以利用点到平面的距离公式来求解。

首先，我们需要确定平面的方程。由于平面过点 $(2,3,0)$，且垂直于向量 $(1,1,1)$，因此平面的方程为：

$$
x+y+z = 5
$$

接下来，我们需要求点 $(0,0,4)$ 到平面 $x+y+z=5$ 的距离。

设点 $P$ 为平面上任意一点，则 $P$ 到点 $(0,0,4)$ 的距离为：

$$
d = \frac{\left|(0-0)+(0-0)+(4-5)\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}
$$

因此，四棱锥的高为 $\frac{1}{\sqrt{3}}$。

将 $S_h$ 和 $h$ 代入四棱锥的体积公式中，即可求出所求立体的体积：

$$
V = \frac{1}{3}\times 6 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}
$$

因此，所求立体的体积为 $2\sqrt{3}$。

求下列曲面围成立体的体积 z=x^2/a^2+y^2/b^2,xy=a^2,xy=2a^2,y=b^2*x,y=2b^2*x,z=0

首先，我们可以用 xy=a^2 和 xy=2a^2 两个平面将曲面分为两部分。由于问题的对称性，我们只需要考虑其中一个部分的体积，然后将其乘以 2 即可得到整个立体的体积。

接下来，我们需要找到两个相邻的曲面 z1 和 z2，使得它们之间的体积可以用标准公式 V = ∫A(z)dz 来计算。其中 A(z) 是曲面在 z 轴高度为 z 时的投影面积。注意到这个曲面是一个旋转抛物面，因此它在任意一条垂直于 z 轴的直线上的投影都是一个椭圆。而且由于 xy=a^2 和 y=b^2*x 的限制，这些椭圆的长轴和短轴都是定值，因此我们可以直接计算出任意高度下的投影面积。

具体来说，我们可以将 xy=a^2 和 y=b^2*x 分别解出 y 和 x 的表达式，得到两个函数 y=f1(x) 和 y=f2(x)。然后我们可以用椭圆的标准公式 A(z) = πab 来计算每个高度下的投影面积，其中 a 和 b 分别是椭圆的长轴和短轴。注意到这里的 a 和 b 实际上就是 f1(z/a) 和 f2(z/a)。因此我们可以得到：

A(z) = πf1(z/a)f2(z/a)

接下来，我们需要找到 z=x^2/a^2+y^2/b^2 和 z=0 这两个曲面的交线方程。注意到这两个曲面分别是一个椭圆柱面和一个平面，它们的交线是一个椭圆。我们可以将它们代入 xy=a^2 和 y=b^2*x 两个限制条件中，得到：

x^2/a^2 + (a^4/x^2)/b^2 = 1

x^2/a^2 + (a^2/(2x))^2/b^2 = 1

解出 x 后，我们可以得到两个高度，分别是 z1 = x^2/a^2+(a^4/x^2)/b^2 和 z2 = x^2/a^2+(a^2/(2x))^2/b^2。注意到这里要求 x>0，因为我们只考虑了 xy=a^2 和 y=b^2*x 这两个限制条件的一个象限。

现在我们可以计算体积了：

V = 2∫[0,a√2] A(z) dz

= 2π∫[0,a√2] f1(z/a)f2(z/a) dz

= 2π∫[a,b] f1(x)f2(x)x/√(x^2-a^2) dx

其中最后一个积分是将 z1 和 z2 的 x 表达式合并后得到的。注意到这里的积分区间是从 a 到 b，其中 b 是交线的横坐标的最大值，即 b=√(2)a。