全局最优化算法：二次约束二次规划问题的解决方法

"带有二次约束二次规划问题的全局最优化 (2013年)，马小华，魏飞，高岳林，北方民族大学信息与系统科学研究所" 这篇论文主要研究了带有二次约束的二次规划问题的全局最优化算法。二次规划（Quadratic Programming,QP）是一种常见的优化问题类型，它涉及寻找向量x，使得目标函数（通常是二次函数）在满足一系列线性和/或非线性约束的情况下最小化或最大化。当约束条件包含二次不等式时，问题就被称为带有二次约束的二次规划。 在论文中，作者们利用了二次约束二次规划模型的特殊结构，具体来说，他们借助了乘积的凸包络和凹包络概念。凸包络和凹包络是优化理论中的重要工具，用于处理非线性优化问题。凸包络是对一个函数的上界估计，而凹包络则是下界估计，它们可以用来构造松弛问题，从而将原问题转化为更易于处理的形式。 为了找到全局最优解的下界，论文提出了一个松弛线性规划问题。这是一种将非线性约束转化为线性约束的方法，通过这种方式，可以利用线性规划的高效算法来逼近原问题的最优解。然后，通过引入超矩形缩减技术，论文中提出的算法能够加速分支定界法的收敛速度。分支定界法是解决全局优化问题的一种常用方法，通过将大问题分解为更小的子问题来逐步逼近最优解。超矩形缩减技术可以帮助减少搜索空间，从而提高算法效率。 此外，论文还讨论了如何将分支定界法与外逼近方法有机地结合。外逼近方法通常用于处理非凸优化问题，它通过逐步逼近问题的解集来寻找全局最优解。结合这两种方法，新算法能够在保证收敛性的前提下，有效地处理带有二次约束的二次规划问题。 通过数值算例，作者们验证了所提出算法的有效性和可行性。这些计算结果证明了算法不仅能够找到全局最优解，而且在实际应用中表现出良好的性能。 这篇论文为解决带有二次约束的二次规划问题提供了一种新的全局最优化算法，它结合了不同的优化技术和策略，提高了求解复杂优化问题的效率。这种方法对于工程设计、经济建模、数据分析等领域具有重要的理论和实践价值。