伪线性系统同宿轨的存在性研究

"一类伪线性系统的同宿轨 (2009年) - 张永新，高仕龙，段樱桃 - 四川大学学报(自然科学版) - 0490-6756(2009)03-0529-04 - doi:103969/j.issn.0490-6756.2009.03-002 - 关键词:伪线性系统;同宿轨;存在性 - 中图分类号:0175.12 - 文献标识码:A" 这篇论文关注的是伪线性动力系统的研究，特别是关于同宿轨的存在性问题。同宿轨是指一个系统中，从一个稳定平衡点出发并最终返回到该点的轨道，这在混沌理论和动力系统中具有重要意义。论文作者张永新、高仕龙和段樱桃通过分析无穷远奇点的性质和有限远奇点指数，得出了这类伪线性系统中同宿轨存在的条件。 在动力系统理论中，无穷远奇点通常是指系统在无穷远处的行为，而有限远奇点则指在有限坐标区域内系统出现的特殊点。奇点的指数则用于描述系统在该点的稳定性特征。作者通过深入研究这些特性，证明了在特定条件下，系统可能存在同宿轨，同时指出在满足某些条件时，非奇异闭轨（即不穿过任何奇点的闭合轨道）不存在。 论文特别关注了一类伪线性系统，其一般形式为： \[ \begin{cases} x' = a(x) + b(y) \\ y' = c(x) + d(y) \end{cases} \] 其中，\( a, b, c, d \) 是相关的函数，且 \( d \neq 0 \)。此外，广义的Liénard系统： \[ \begin{cases} x' = \psi(y) - f(x) \\ y' = -g(z) \end{cases} \] 是这个伪线性系统的一个特例。Liénard系统在物理学和生物学等领域中有广泛的应用，例如描述振动现象和生物种群动态。 文献中提到的其他研究，如[1, 2]，已经对广义Liénard系统的同宿轨存在性进行了探讨。然而，本文的贡献在于不仅探讨了伪线性系统中同宿轨的存在性，还将其理论应用到了广义Liénard系统，进一步推导出该系统中同宿轨和椭圆扇形的存在性。 论文中还引入了有限远奇点的指数，这是判断系统动态行为的关键工具。通过计算这些指数，可以了解系统在这些点附近的行为，进而判断是否存在同宿轨。作者通过严谨的数学分析和推导，给出了具体的存在性条件，这对于理解和预测系统动态行为提供了理论依据。 这篇论文对伪线性系统和广义Liénard系统的同宿轨理论进行了深入研究，对于理解这类系统的复杂动力行为以及在实际应用中的预测和控制具有重要价值。