幂和公式与Bernoulli数：递推关系与计算新探

"自然数幂和公式系数的递推公式和有关Bernoulli数的计算公式 (2005年)" 本文深入探讨了自然数幂和的表示及其系数的递推关系，同时也涉及到Bernoulli数的计算公式。作者朱伟义在研究中，基于历史上的工作，特别是17世纪瑞典数学家Bernoulli的成果，以及后来陈景润、黎鉴愚、陈瑞卿、朱豫根和刘玉清的研究，提出了一种新的递推公式。 自然数幂和S_k(n)是所有正整数1到n的k次幂之和。例如，S_2(n)代表的是n个自然数的平方和。自古希腊时期的阿基米德以来，这类问题就引起了数学家们的兴趣，并取得了许多重要发现。Bernoulli在17世纪提出了任意幂和的一般公式，它关联到了Bernoulli数B_k和Bernoulli多项式B_k(x)。 公式(1)显示了幂和S_k(n)与Bernoulli数的关系，其中B_k+1(n+1)和B_k+1之间的差分给出了S_k(n)。Bernoulli数B_k是数学中的一个重要序列，与许多数学理论密切相关，包括泰勒级数、Euler恒等式和ζ函数。 陈瑞卿和朱豫根、刘玉清的工作进一步发展了幂和公式系数的递推关系，但本文作者朱伟义通过不同的方法，得到了一个更简洁且实用的递推公式。这个公式不仅适用于系数a_{k,i}，而且对于特定情况下的l值，还可以计算出与Bernoulli数B_{k+1}相关的项。 定理1是本文的核心，它提供了一个递推公式来确定幂和S_{k+l}(n)的系数a_{k+l,i}，这些系数可以通过原始幂和S_k(n)的系数a_{k,i}计算得出。同时，该定理还揭示了如何利用这个递推关系找到与Bernoulli数B_{k+1}相关的系数B_{k+1}=l*a_{k+l,k+1}*C_{l-1,k+l}/C_{l,k+l}。 这里的C_l^k是组合数，表示从l个不同元素中选取k个的组合方式。递推公式的特点在于它简化了计算过程，使得对高次幂和的分析变得更加可行，特别是在涉及Bernoulli数的计算时。 这篇论文通过创新的递推公式，为理解和计算自然数幂和提供了新的工具，同时也深化了我们对Bernoulli数这一基础数学概念的理解。这一研究成果对于数学理论的发展和实际应用，特别是在数论、组合数学和解析数论等领域，都具有重要的价值。