"火车进出栈问题.md - 算法题解"
这道题目是一道典型的组合计数问题,与栈的特性相关,同时也涉及到排列组合和质因数分解的概念。题目要求计算一列火车n节车厢按照进栈和出栈操作所能产生的不同出栈顺序的总数。
首先,我们需要理解栈的运作机制。栈是一种后进先出(LIFO)的数据结构,即最后进入栈的元素最先离开。因此,当一节车厢进栈后,它必须等待所有后来进栈的车厢都出栈后才能出栈。这就意味着最开始出栈的车厢可能是任意一节,但后续的车厢出栈顺序将由它们进栈的顺序决定。
题目中给出了输入输出的格式和数据范围。例如,对于输入样例 `3`,意味着有3节车厢,出栈顺序可能为 `123`, `132`, `213`, `231`, `312`,共5种不同的排列方式。
为了解决这个问题,我们可以使用数学方法,特别是质因数分解和组合计数理论。参考答案中提到的算法是基于线性筛法来筛选质数,并计算每个质数的指数,这与求解排列组合问题中的阶乘有关。在给定的代码中,`init()` 函数用于线性筛出质数并计算分解质因数的结果,`qmi()` 函数则用于执行快速幂运算。
在这个问题中,关键在于理解排列数的计算公式,即n个不同元素的排列数为 n!(n的阶乘),以及如何通过质因数分解简化计算。由于 n! 可能非常大,直接计算可能会溢出,因此通常需要采用模运算来避免这个问题。参考答案中使用的 `base` 和 `basebit` 就是为了实现这个目的,`base` 是一个足够大的基数,`basebit` 表示基数的位数。
在参考代码中,`sum[]` 数组用于存储每个质数的次幂和,`primes[]` 存储质数本身,`cnt` 保存质数的个数,`res[]` 用于存储最终结果。通过计算每个质数的指数并进行模运算,可以得到所有可能出栈顺序的总数。
在实际运行过程中,`init()` 函数首先筛出所有小于等于2n的质数,并计算每个质数在2n!中的出现次数。之后,`qmi()` 函数用于计算指数次幂,通过不断自乘和位移操作完成。
总结来说,火车进出栈问题实质上是一个计数问题,通过质因数分解和快速幂运算来高效地计算排列数。解答时需要注意数据范围的限制,以及避免大整数溢出。在实际编程解题时,可以利用动态规划、递推或者数学归纳等方式优化算法,以适应更大的数据规模。