有限元方法在二次最优控制问题中的超收敛性分析

"这篇论文主要探讨了二次最优控制问题在有限元方法下的超收敛性，重点关注了半离散化的处理方式。作者陈铁军、肖建新和邓跃龙来自益阳医学高等专科学校，他们在2014年5月发表于《四川大学学报（自然科学版）》上，该研究属于自然科学领域，具体分类为控制理论和应用。 二次最优控制问题是一个重要的数学优化问题，通常涉及到在满足某种约束条件下，寻找能够最小化某个二次函数的目标控制。在这个问题中，状态变量和对偶状态变量分别通过标准线性有限元方法进行离散化，而控制变量则采用分段常数进行近似。有限元方法是一种广泛应用于数值分析的方法，它将连续区域划分为许多互不重叠的子区域，然后在每个子区域上构建简单的基函数，通过这些基函数的线性组合来近似原问题的解。 论文的核心贡献在于证明了控制量的适当插值与有限元逼近之间存在h²阶超收敛性。超收敛是指在有限元方法中，经过适当的插值操作后，解的误差比常规的误差估计有更快的收敛速度。这种特性对于提高数值计算的精度和效率具有重要意义，因为它允许在较低的网格分辨率下就能得到相当精确的结果。 在论文中，作者们详细分析了二次凸优化问题的半离散有限元方法，展示了如何利用这种方法来处理抛物型最优控制问题。抛物型方程是偏微分方程的一种，广泛出现在热传导、流体力学等领域。通过控制变量的分段常数逼近，他们能够展示即使在控制量不是连续的情况下，也能保证解的超收敛性。 论文进一步提供了相关的数值实验和分析，以验证理论结果的有效性和实用性。这些实验不仅验证了控制量的超收敛性质，也为实际工程和科学研究中的最优控制问题提供了一种有效且精度高的求解策略。 这篇论文对于理解二次最优控制问题的数值解法以及有限元方法的超收敛性质有着深远的影响。它不仅在理论上推动了这一领域的进展，而且为实际应用提供了有力的工具，特别是在需要高精度控制解的复杂系统中。"