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科学讲座4(2022)100097一种超精确快速傅里叶变换Manus Henrya,b,a流体和复杂系统中心,考文垂大学,Priory Street Coventry, CV1 5FB,UKb英国牛津大学工程科学系,地址:Parks Road,Oxford OX1 3PJ自动清洁装置保留字:快速傅立叶变换棱镜信号处理光谱分析峰值检测频谱泄漏A B标准快速傅立叶变换(FFT)是数字信号处理的基石,可以生成时间序列频率内容的计算有效估计它的局限性包括:(1)信息仅在离散频率步长处提供,因此通常使用进一步的计算(例如插值)来获得峰值频率和振幅的改进估计;(2)来自频谱峰值的“能量”可能“泄漏”到相邻频率中,潜在地本文介绍了一种新的FFT计算,它使用两个窗口函数,来自棱镜信号处理。 从应用于数据集的每个窗口函数获得单独的FFT结果。基于两个FFT结果的计算产生频谱峰值位置(频率)、幅度和相位的高精度估计该技术如下解决FFT限制:(1)直接计算谱峰参数,不受FFT频率步长离散化的限制;(2)加窗函数具有衰减和局部化谱泄漏的窄带特性;(3)加窗函数结合Romberg积分机制以克服离散/连续时间逼近。本文的视频可以在j.sctalk.2022.100097上找到。https://doi.org/10.1016/图和表图1.一、棱镜窗口功能。用于生成Prism FFT的两个窗口函数通讯作者:流体和复杂系统中心,考文垂大学,修道院街考文垂,CV1 5FB,英国。电子邮件地址:manus. coventry.ac.uk,manus.henry@eng.oX. ac.uk。h tt p://dx. 多岛或g/10。1016/j。我的天啊。20 22. 1 0 0 09 7接收日期:2022年9月26日;接收日期:2022年11月14日;接受日期:2022年11月20日27 7 2 - 56 93/©2022TheA ut h or r. 由E lsevier L td提供。 这是一个操作过程,需要遵循C CBY指令(http://c re ati ve c mmo ns. 或g/li ce nss/by/4. 0/)。可在ScienceDirect上获得目录列表科学讲座杂志首页:www.elsevier.es/sctalkM. 亨利科学讲座4(2022)1000972图二、时间序列数据示例。该数据集是具有1 Hz、5 Hz和8 Hz频率分量的信号的模拟图3.第三章。 快速傅立叶变换应用于图中的数据。 二、 将传统的FFT计算应用于图1中的数据集。 2产生相应的光谱,其中在1 Hz、5 Hz和8 Hz处的峰值可见。M. 亨利科学讲座4(2022)1000973图四、时间序列数据的第二个例子。该数据集是对具有13个频率分量的信号的模拟,幅度范围从1 V到1 e-9 V。图五、图中信号的FFT分析。四、13个信号分量或音调的真实幅度和频率值由十字标记蓝线显示基本FFT计算的结果虽然识别出了一些高音,但较低幅度的音调会被FFT计算的噪声掩盖-这种现象称为频谱泄漏,并导致隐藏的红线显示了在执行FFT计算之前将众所周知的Hann窗口函数应用于数据集时获得的结果这导致减少的频谱泄漏,并且因此导致更少的隐藏音调。本文中所示的Hann窗函数的结果类似于用其他广泛使用的窗函数(Hamming,Rectangular,Blackman等)可能获得的结果,与使用Prism FFT技术获得的非常高的精度结果形成对比M. 亨利科学讲座4(2022)1000974图六、三音模拟的普通FFT分析。一个三音仿真用来说明传统的FFT技术的局限性,并证明新的棱镜方法的精度。 这三个音调相隔大约50 Hz,其中外部两个音调具有大约1伏的振幅,中间音调具有大约1微伏的振幅,如交叉符号所示。传统的M. 亨利科学讲座4(2022)1000975图7.第一次会议。 Hann三音FFT分析仿真. 该图扩展了图。 通过将Hann FFT技术应用于相同数据集时获得的结果相加,得到了6。减少了频谱泄漏,从而降低了真音之间的噪声串扰。中间色调由于频谱泄漏而保持隐藏M. 亨利科学讲座4(2022)1000976图8.第八条。棱镜FFT分析三音仿真. 该图包括图1和图2所示相同数据集的相应棱镜分析。6和图7 绿线显示远离真实峰计算的低噪声棱镜峰,而蓝线显示计算的棱镜峰以及每个棱镜峰周围的使用Prism技术可以清楚地识别低振幅中间峰M. 亨利科学讲座4(2022)1000977图9.第九条。第一个音调附近的FFT分析。三个FFT分析图。图6-8在近似8950Hz的第一真实音调频率的区域中更详细地示出。采样率为48 kHz,数据集包含48,000个样本,因此FFT结果以1 Hz步长生成在这个更详细的尺度上,可以看出,普通FFT和Han FFT技术都仅给出真实音调幅度和频率的近似估计额外的计算步骤,如多项式拟合,可用于改善这些估计。相比之下,在这个尺度上,棱镜FFT技术似乎仍然提供对真实音调的频率和幅度的准确估计。M. 亨利科学讲座4(2022)1000978图10个。第一个音调附近的Prism FFT分析。图如图9所示,将频率标度减少到1 Hz的步长足以显示真实音调与由Plain FFT和Hann FFT生成的估计值之间的差异。这里,频率和幅度标度分别减小到1 e-11 Hz和1 e-11 V的步长,以便将Prism FFT结果与真实音调值分离,从而证明Prism FFT技术的高精度。图十一岁 时间序列的三音例子。 该图显示了用于生成图1和图2的时间序列。 六比十标记为红色圆圈的开始值和结束值具有显著不同的值,相差约2V。FFT计算假设时间序列在无限长的序列中重复因此,该数据集中的起点和终点之间的不连续性在重复序列中引入了阶跃变化,这在相应的频谱中产生了高水平的宽带噪声M. 亨利科学讲座4(2022)1000979图12个。三音模拟的普通FFT分析。图中所示的不连续性。11是在普通FFT分析中观察到的高频谱泄漏(或高“噪声泄漏”)的一个来源,导致中间音调被隐藏。图13岁Hann窗函数该图显示了长度为48,000个样本的Hann窗口函数它由一个纯正弦曲线组成,经过缩放和偏移,因此它的初始值和最终值为零,峰值为1.0,位于数据窗口的中心图十四岁 应用于数据集的Hann窗口函数。图1的Hann窗函数。 13应用于图11的原始数据集。 11以创建此处所示的窗口化信号。这是通过执行每个数据集值与对应的Hann窗口值的逐点相乘来实现的由于汉恩函数以零值开始和结束,因此加窗函数在端点处也为零,使得图1所示的原始数据集中的不连续性。 11已删除这导致减少的频谱泄漏。M. 亨利科学讲座4(2022)10009710图十五岁Hann三音FFT分析仿真. 应用于图1的Hann窗口数据集的常规FFT计算。14导致与图14相比减少的频谱泄漏。 12个。图十六岁棱镜窗口功能。Prism FFT技术使用两个窗口函数,称为Gs1和Gs2。图十七岁 应用于数据集的棱镜窗口功能。图1的棱镜窗口函数。 16分别应用于图11的原始数据集。 11以创建这里所示的两个加窗信号,其中在每种情况下,数据集逐点乘以对应的加窗函数值。图十八岁原始Prism FFT光谱。将常规FFT计算应用于图1的棱镜窗口数据集。15结果在这里显示的两个光谱中。主要特点包括低噪音地板(与图 12和15)和真峰两侧的窄双峰。中峰不再隐藏。M. 亨利科学讲座4(2022)10009711图十九岁第一个音周围的原始Prism FFT值。在接下来的几个数字中,显示了高精度计算真实音调位置的方法,重点是大约8950 Hz的第一个音调以1 Hz间隔计算Gs1和Gs2窗口数据集的FFT幅度值垂直虚线示出了真实峰的位置非常低的振幅值(包括真实音调本身周围)被排除在绘图之外图20. 振幅比的计算。确定真实音调频率的下一步是计算图1所示的每个FFT提供的结果的Gs 2/Gs1幅度的比率。 十九岁图21岁 计算R。 将二次变换应用于图1的振幅比。 20以获得r的值,r是与棱镜理论相关的无量纲频率。这里,r的值与到真实音调频率的距离成比例,而r相对于FFT频率的斜率指示真实音调位置的方向M. 亨利科学讲座4(2022)10009712图22岁计算音调频率。根据图中所示的r值。21,计算本地真实音调频率的估计。水平虚线显示真实值。对于FFT频率值的范围获得良好的估计图23岁 音调频率错误。 对应于图1中的音调频率估计的误差。 22个显示。大多数误差低于1 e-5 Hz,对于高FFT幅度值(图1)。 19)对应于8940 Hz和8960 Hz左右的FFT频率,误差小于1 e-11 Hz。M. 亨利科学讲座4(2022)10009713图24岁 最终Prism FFT结果。显示了Prism FFT分析的结果每个识别峰周围的棱镜“死区”取代了图1所示的原始FFT双峰。 十八岁死区的水平由相邻的噪声通道确定。表1Prism FFT结果基于5000次模拟。音调1音调2音调3平均误差STD平均误差STD平均误差STD频率(Hz)−8.09e-132.14e-12−6.10e-071.60e-06−1.50e-122.07e-12振幅(V)−7.83e-131.55e-12−2.83e-131.55e-12−6.28e-131.58e-12相位(弧度)2.32e-127.29e-121.89e-065.18e-062.35e-126.81e-12该表示出了图1和图2中使用的三音调示例的5000次模拟的结果。6- 24,其中随机选择每个音调的初始相位,并添加具有标准偏差1e-10V的白噪声。对于高振幅音调1和3,频率、振幅和相位的平均误差和标准偏差在它们各自的单位中是1 e-12的量级对于使用普通FFT或汉恩FFT技术不能观察到的较低幅度音调2,频率和相位平均误差和标准偏差为1 e-6的量级音调2振幅误差和标准偏差仍然近似于1 e-12,但如果真实振幅仅近似于1 e-6,则相对振幅误差近似于1 e-6。总体而言,Prism FFT生成的结果的误差与局部信噪比成比例。如下所述,通过使用高衰减窄带滤波来最大限度地减少频率泄漏,实现了这种数值性能,同时在棱镜计算[1]中包含了Rom- berg积分,以在滤波器通带内提供高精度结果。M. 亨利科学讲座4(2022)10009714图二十五 棱镜结构(来自[1])。棱镜是由一系列傅立叶风格的集成块组成 它对输入时间序列s(t)进行运算,并生成一个或两个输出时间序列G h(t)和G h(t)。 棱镜有两个配置参数,特征频率m和谐波数h。S c图26岁棱镜符号。此符号可用于表示棱镜网络图中的单个棱镜符号与图中使用的符号相同。二十五M. 亨利科学讲座4(2022)10009715图27岁。 棱镜低通滤波器。 棱镜网络可用于实现低通滤波器。 这里,12个棱镜被布置在两层中,以从单个时间序列输入生成单个输出。选择权重w1相同的设计可用于任何特征频率m。M. 亨利科学讲座4(2022)10009716图28岁棱镜低通滤波器的频率响应。该图显示了用于在图1和图2的三音FFT示例中创建棱镜窗口函数Gs1和Gs2的12层棱镜低通滤波器的频率响应。6比24 这个过滤器使用图的架构。27扩展以创建12层,其中权重w i在所有层上被优化以最小化高于所选m值的增益,其中m是网络中所有棱镜的共同特征频率。在这种情况下,选择的m值为25 Hz。对于高于m的所有频率,衰减至少为−316dB。图第二十九章。Prism滤波器的脉冲响应。该图显示了两个棱镜滤波器的脉冲响应,每个棱镜滤波器由图1的12层棱镜低通滤波器组成。28其次是一个单一的G s输出棱镜(图。 25),其中h= 1(G1)或h = 2(G2)。这些脉冲响应形成用于Prism FFT计算的加窗函数,S s图 6比24M. 亨利科学讲座4(2022)10009717图30. 棱镜滤波器在对数标度上的脉冲响应。这显示了图1的脉冲响应函数的绝对值。29在对数尺度上。图31岁Prism FFT计算总结。图1和图2的低通棱镜滤波器。27-30具有窄且固定的频率通带。 这可以通过外差技术进行调整以应用于任何目标频率,外差技术将目标频率移动到滤波器通带中。 传统上,在信号处理中,首先应用外差,然后是低通滤波。Prism FFT技术颠倒了这种顺序-低通滤波以窗口函数的形式应用,然后FFT用于应用系统和计算效率高的外差,将所有频率移到滤波器通带。 这种计算顺序的反转是可能的,因为Prism是一个线性FIR滤波器。该计算导致FFT估计,其应用了窄带滤波,限制了频谱泄漏。CRediT作者声明Manus Henry:概念化;调查;软件;写作-原始草稿。数据可用性所使用的数据是保密的。申报利益作者声明,他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系,可能会影响本文报告的工作。引用[1] M.P. Henry,The Prism:Recursive FIR signal processing for instrumentationapplications,IEEE Trans. Instrumum. Meas. 69(2020年)。ManusHenry是考文垂大学流体和复杂系统中心的流量测量教授,也是牛津大学工程科学系先进仪器研究组的主任。他是《流量测量与仪器》的主编。他是英国政府国家测量系统计划流量计量和数字计量专家组他拥有超过130项专利,主要是在科里奥利质量流量计量领域。他开发了Prism,以追求改进仪器应用的信号处理
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