Journal of the Egyptian Mathematical Society（2013）21，285埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章三维欧氏空间中某些特殊曲线生成的直纹曲面Ahmad T.Alia，b，*，Hossam S.Abdel Azizc，Adel H.Sorourca沙特阿拉伯吉达21589，阿卜杜勒·阿齐兹国王大学，理学院，数学系，邮政信箱80203b埃及开罗纳斯尔市11884爱资哈尔大学理学院数学系c埃及索哈格索哈格大学理学院数学系。收稿日期：2012年6月23日;修订日期：2012年11月18日;接受日期：2013年2月9日2013年4月19日在线提供本文研究了一类特殊曲线在欧氏空间中的Frenet标架下生成的直纹曲面。在一般螺旋线和斜螺旋线的情况下，得到了一些重要的结果。作为应用，给出了圆一般螺旋线、球一般螺旋线、Salkowski曲线和圆斜螺旋线等曲线，并绘制了曲线MSC：53A04？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍研究E3中具有特殊性质的曲面类，如可展曲面、极小曲面、II-极小曲面和II-可展曲面，是经典微分几何的主要目标之一。曲面有许多重要的种类，如循环曲面、旋转曲面、螺旋面、旋转曲面、槽曲面、直纹曲面等，这些曲面在曲面设计中有着重要的作用和广泛的应用。*通讯作者：Al-Azhar University，Nasr City 11884，Cairo，Egypt.联系电话：+20 9665664318227。电子邮件地址：atali71@yahoo.com，habdelaziz2005@yahoo.com（A.T.Ali）。同行评审由埃及数学学会负责在物理学、计算机辅助几何设计、空间机构设计问题的研究等领域有着广泛的应用[1，2]。关于欧氏空间中这类曲面的许多性质和一些刻画，已有许多研究[3，4]。此外，许多几何学家还研究了Minkowski空间中直纹曲面的一些微分几何概念[5螺旋线（圆螺旋线）是具有非零常曲率j和非零常挠率s的几何曲线。这是一个特殊的情况下，一般螺旋[9一般的螺旋线是这样的曲线，即切线与固定的直线（称为轴）成一个恒定的角度一般螺旋的结构。一个经典的结果所述的Lancret在1802年和第一次证明的圣维南在1845年说：一条曲线是一般螺旋线的一个充分必要条件是，SJ1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.02.004制作和主办：Elsevier关键词直纹曲面; Frenet标架;一般螺旋线;斜螺旋线;欧氏三维空间286A.T. Ali等¼ ð Þ@s@v2 22-¼ ð Þ¼ ð Þ8123Frenet标架，给出了Frenet公式.fv-1 gsef.- . 1ev e f.e1se1s考虑到计算秒的常用技术E3中曲面的面积泛函得到[20]：1HII <$H2pdetii--ðÞKII¼22：是沿曲线的常数，其中j和s分别表示曲率和挠率[12]。倾斜螺旋线是这样的曲线，法线与固定的直线形成一个恒定的角度，该直线被称为倾斜螺旋线的轴[13]。Izumiya和Takeuchi[13]证明了：一条曲线是斜螺旋线当且仅当主法线指标的主像的测地如果i×0（s）i=0，则直纹曲面不存在任何收缩曲线。在这种情况下，直纹面是圆柱形的。因此，基弧可以作为一个收缩曲线。曲面W上的标准单位法向量场U可以定义为：UWs^Wv;4kW ^WkJ2j2. s0JS其中，W为1/4v@Ws;v和Wv¼@Wyns;v. 第一个I和第二个II在曲线上是恒定的。由曲线的曲率和挠率的本征方程j=j（s）和s = s（s）确定曲线的位置向量是一个重要的课题。最近，Ali[14，15]给出了欧氏空间E3中一种重要的特殊曲线--一般螺旋线和斜螺旋线的参数表示.直纹曲面是由一条直线在空间中连续运动而生成的曲面，是微分几何中最重要的课题之一[16]。本文研究了欧氏空间E3中一类由特殊曲线生成的直纹曲面，得到了以一般螺旋线和斜螺旋线为基曲线的直纹曲面的一些重要结果。2. 基本概念设E3是一个三维欧氏空间，其度量由下式给出：h;i¼dx DVDX dx;其中（x1，x2，x3）是E3的直角坐标系。3表面W的基本形式分别由下式给出：I 1/4Eds2-2F ds dv-2G dv-2; 25mlII 1/4eds212fdsdv12gdv2;1660哪里E<$hWs;Wsi;F<$hWs;Wvi;G<$hWv;Wvi;e1/4 hWss;U i;f 1/4 hWsv;U i;g 1/4hWvv;U i：另一方面，高斯曲率K、平均曲率H和分布参数k分别由下式给出[18]例如f2K1/2EG F2;Eg葛2法郎H;822019- 05-22detc0;X;X0k：92kX0k从欧几里德三维空间中的Brioschi因此，曲面的第二高斯曲率KII是[2019 - 10 - 19]让我们来看看：我很好！ E是任意弧长. -1e B-g21e f-1e。. 01e21克的9参数s。设{e1（s），e2（s），e3（s）}为移动1><。2vvSV2SS2 SS2v. .2 v2S. >==（12）eg-f1gfg。.1gfg。>>的;203 232 32v2sð10Þ64e02s75¼64-js0ss7564e2s75：01第二平均曲率HII，通过使用正常的变化，其中函数j（s）和s（s）是曲率和tor。曲线C的位置。直纹曲面是由一个单参数的直线，它具有参数表示Xs;2其中c（s）称为基曲线，X（s）是单位表示。HII¼H4DII其中H和K分别表示表面的平均高斯曲率，DII是关于作为度量的第二基本形式II计算的函数的拉普拉斯算子。第二平均曲率HII可以等效地表示为发送表示直线行[17]。如果两个相长的物体之间存在一条公共垂线，1X@i;jΣpffiffi ffiffiffiffiffiffi ffi ffi ffiffi ffi ffi ij@p在直纹面上有一个中心点，则该中心点上的共同点称为中心点。中心点的位置称为收缩曲线[4].直纹曲面上约束曲线的参数化（2）由hc0s;X0si其中（hij）表示具有其逆（hij）的关联矩阵，索引i、j属于{1，2}，并且参数u1、u2分别是s、v与表面W上的曲线c（s）相关联的测地曲率、法曲率和测地挠率可以计算如下：~cscs -02Xs：3j<$hU^e;e0i;j<$hc00;Ui;s<$hU^U0;e0i：12kXs kG11n g110jjs0e0s0Ss0e S3- ð Þ3ð Þ@ui德特什二世@ujjuelnK;11三维欧氏空间中某些特殊曲线生成的直纹曲面287.2019-01-2200：00：00228><23K¼-13j-s1H1 -3123x2x2x1x3j-x2x2s2323×102×1。x2x 23x1x3j-。x2x2ss2j23223123223 J231123223223是具有固定分量的单位向量，即，x1x2x3¼1。123100x2x2x3s- x2x3jx3x3sx2j sW的第一和第二基本形式分别为：23223223132311223222223×j×2js2000年2月，X.Σ23我知道了。þΣ Σ.- 是的 好吧 -是的Σ.- 是的Σj.t.x.xxj-xxsv;26.- 是的Σ- 是的ΣΣΣ23133212323v1 12 23 32223222现在，我们可以写出以下重要的定义：定义2.1[21]。对于位于曲面上的曲线c（s），以下是众所周知的：(1) c（s）是测地曲线当且仅当测地曲线jg为零。(2) c（s）是一条渐近线当且仅当正态曲线真jn消失。(3) c（s）是主线当且仅当测地挠率sg消失。利用上述数据，分别给出了高斯曲率K、平均曲率H和分布参数k，F2K¼-E-F2;180e-2Ff2英法sx2x2-jx1x3x2j2s2x1j-x3s此外，从（10）中，W的第二高斯曲率如下给出：定义2.2[22]。K¼fevv-2fsv-ev-2fsfv¼1@。ev-2fs：21II(1) 一个正则曲面是可展曲面，当且仅当2f32f@vf高斯曲率等于零。(2) 一个正则曲面，其平均曲率为零，称为极小曲面。(3)一个曲面称为I-Gaussian曲面，如果第二条高斯曲线从（18）-分别降低结果- 是的 XxΣΣ2x2 x2真值等于零。x1-2x2j2x. x2x2s真值等于零。值得注意的是，直纹曲面（2）是可展的，当且仅当曲面W的分布参数k满足以下条件相同[23]。HII¼2x2x23= 21p2322i233. 一般形式对于我们的研究，我们考虑以下使用曲线c（s）作为基曲线生成的曲面：S：Ws;vcsvXs;X0s×。xhx2x2x22-x4x2-2x2ij阿克斯x2 x2 s0200万美元2万美元2 x2x2- 3 x2xxx2j2 xx2x2j0s1x1x2x3 x2x2jj0;242 3哪里13X系列xieis;14KII¼ 2x2x23=2hxxj-x2x22si21/12 31 32 32 2 2Sv××3×3。x2x2j½x2j0-4x3js]（13）的自然坐标系{W，W}由下式给出：10x4x. x2-x2j3-x. x2x22。2x2s32x2s2-j2.Ws 1-v x2je1-vx1j-x3se2-v x2se3;-x2x3j j0-x2. x2x2j。x3英寸。2x2x20x20j25. x2x2s2W¼xexe请注意：ð15Þ123.22Σ 0 Σ .22002年。23Σ2 22 322 2Σ从上面的等式，我们可以得到2. x2x2s0：25如下：E=1-vx2j=2-vx2j=1-x3s=2-vx2s=2;F¼ x1;ð16Þ此外，我们将使用（12）来获得测地曲率，将曲面W上的曲线c（s）相关联的法曲率和测地挠率分别为以下形式：>：G1;8>e1/4 1/2 1/2s j0-j s0/2 -x1。x2x2s3-x31-3x2js2-x11-3x2j2s12j22阿21 21 3J>.阿吉什23i ijn¼A½x3-x2x3jx1sv];27<-x3x2x2j3v22x2x3jx1sj -x1x3j0x2x3j0v-x3j;>f¼1mm。x2x2s -x1x3j;>：g¼0;sg¼A2 x2x3j-vx3x12x2jx1x2-2x3jsð17Þ哪里一个2夸脱。x2x2j2-2x1x3js。x2x2s 2v2-2x2jvx22x22x2js22x2 2x 22x2js2. s0xx2海岛sΣ0ΣiJ23千分之四2：200万;22(4)一个曲面称为II-极小曲面，如果第二平均曲线-;23223一3J第三章：：128元31一2288A.T. Ali等.螺旋状的螺旋状。K克什蒂尔克.Σ12R12-1x103x2322x2s2II2s23223-x1约什·赫茨拉夫兹K¼-1X3--;H¼KII1231X312x3x1þRR.Σ在点（s; 0），上述方程采取简单形式：推论3.4。在点（s，0）处，在直纹面（13）中，XJXJxxj2x2=0满足以下条件：j2j¼3s¼2 3G：129元g<$px2x2;npx2x2;x2x2然后我们有以下属性：jgjnj2：130X1X3（2）直纹曲面是II-极小曲面，如果基曲线是G n一般螺旋线，带螺旋线盘-1.x1英寸x3英寸我的意思是。从（14）和（1）中，很容易看出参数化直纹表面（13）上的收缩曲线的宽度由下式定义~cscsx2jXs：3 12x3x1X0s2从上述研究中，可以得出以下结论推论：推论3.1。在点（s，0）处，直纹曲面（13）是直纹曲面，当且仅当曲线c（s）是一般螺旋线，一个1x3的 空 间。23推论3.5。在点（s，0）处，在直纹面（13）中，x2=0以下语句是等价的：(1) 直纹曲面是极小曲面。(2) 直纹面为Ⅱ-曲面.(3) 基弧为一般螺旋线，s≤1x1-x3 我的意思是。jsx2x2推论3.2。在点（s，0）处，直纹曲面（13）是极小曲面当且仅当曲线c（s）是一般螺旋线用的是2.5x3.2x2-1英寸的玻璃。案例3.3.在x3= 0处，直纹表面（13）具有以下：K1/2-s2;H1/4-。x1s;日本语2x1x2x2x232. 2x1x2s3js0平均曲率H，第二高斯曲率K二世2x22sj0-js0-x12j2x2s2sx3s2第二平均曲率HⅡ以及在特殊情况下的测地曲率jg、法曲率jn和测地挠率sg。jg<$J;jn<$0;sg<$0：ð34Þ案例3.1.在x1=0时，直纹表面（13）具有以下性质：推论3.6。在点（s，0）处，x3 =0的直纹面（13）为：K¼-s2;Hx3j1/4 -2;(1) 如果基础曲线是平面曲线，则为平面。(2) 最小曲面，如果基曲线是平面曲线。K1/ 2 -j1/x。x2j2s2xs0;(3) II-如果基曲线具有内禀方程，H1/2x1/2sj0-js0-xj1/2x2j2x3s2nnn;1jjsand s¼;II2s22 32qRjg¼x2j;jn¼x3j;sg¼x2x3j2：c1-4x1x2其中C1是任意常数。DS日本语推论3.3。 在点（s，0）处，直纹表面（13）具有x1= 0是：(4) II-极小曲面如果基曲线有内禀方程(1) 如果基础曲线是平面曲线，则为平面曲面。2xj2se-x2约什·赫茨拉夫兹(2) 最小曲面，如果基曲线是直线。(3) II-极小曲面，如果基曲线具有以下特征2x22sj0-js0-x3j2x2j23s2¼0：(4) II-平面，如果基弧具有以下特征s0¼x3。x2j2s2：jjsand s<$q将于2009年1月1日至2009年2月31日在香港举行，并于2009年2月1日至2009年3月31日在香港举行，并于2009年3月31日至2009年3月31日在香港举行。2张2x1x2张2x 1 x2张3 x 2张4 x 1 x2张4x 1x 2 x1x 2其中C2是任意常数。案例3.4.在x1=x2=0和x3=1处，直纹表面（13）在点（s，0）处具有以下：. Σ2X223个jK¼-s2;HII¼3H¼ 3KII¼-;ð35Þ案例3.2.在x2= 0处，直纹表面（13）具有以下：jg<$0;jn<$j;sg<$0：. xj21 .一、x2mm2. X轴推论3.7。 在点（s，0）处，直纹表面（13）具有如果基曲线是平面曲线，则x1 = x2 = 0和x3 = 1是可调的。2001年。x2 x1s33HII< $ -22jx;jg<$0;jn<$j;sg<$0：ð33Þ2323(1)直纹曲面是直纹曲面，如果基曲线是根曲线，在下文中，我们将计算高斯曲率K，KII¼-;HII¼;ð32ÞC¼j-s;三维欧氏空间中某些特殊曲线生成的直纹曲面289推论3.8。 在点（s，0）处，直纹表面（13）具有x1= x2= 0且x3= 1，报表是等价物：290A.T. Ali等8>1个无菌杯-无菌杯无菌杯。Σffiffiffi ffiþffiffiffiffiffiffiffiffiffiRðÞΣΣffiffiffi ffiþffiffiffiffiffiffiffiffiffiRðÞΣΣþ221立方米2132ffiffiffiffiffiffiffiffi：可操作的表面。(1) 直纹曲面是极小曲面。(2) 直纹曲面是II-极小曲面。(3) 直纹面为Ⅱ-曲面.(4) 基弧是一条直线。案例3.5.在x1=x3=0和x2=1处，直纹表面（13）4.1. 由一般螺旋线生成的直纹曲面定理4.1. [14]：一般螺旋的位置矢量c以自然表示形式表示如下：具有以下特点：塞尔斯p1-n2K¼-s2;H¼0;Þ¼×Z.cosp1m2Zjsds;sinp1m2 Zjsds;mds;KII1/4-。js0;H2sj0-js0;2s2ð36Þð38Þ其中，m<$p<$nn<$cos<$f;n<$cos1/2/]和f是-jg<$J; jn<$0;sg<$0：推论3.9。在点（s，0）处，如果基弧是平面曲线，则x1=x3=0且x2=1的直纹面（13）是直纹的。推论3.10。在点（s，0）处，直纹表面（13）具有X = 1是最小曲面。1n2固定直线e3（一般螺旋线的轴）和切线曲线C的向量。根据上述定理，我们有esp1n2 cosp1M2 js ds;sinp1M2 js ds;m;<是的。-sinp1m2Rjsds;cos p1m2Rjsds;0;1 3 2：> 。p推论3.11。在点（s，0）处，直纹表面（13）具有若基曲线有常挠率，则x1=x3=0，x2=1是曲面上的Ⅱ-π。推论3.12。在点（s，0）处，x1=x3=0且x2=1的直纹曲面（13）是II-极小曲面，如果基曲线的内在方程为：ð39Þ然后，由一般螺旋线产生的直纹表面（13）的位置矢量W（s，v）=（W1，W2，W3）采用以下形式：8W1¼p1Rcos½H]dsvx1-mx3cos½H]-pm2x2sin½H];：W3¼p1毫秒脉冲宽度1毫秒脉冲宽度1毫秒脉冲宽度1毫秒脉冲宽度3毫秒];其中H<$p1m2Rjsd。ð40Þ案例3.6.在x2=x3=0和x1=1处，直纹表面（13）具有以下特点：K¼0;H¼-。s;在这里，我们介绍了由一般螺旋线的一些特殊情况生成的直纹曲面的位置向量：情况（1）在这种情况下，我们取一个圆形螺旋线（曲率2vjjg<$$>-j;jn<$0;sg<$0：ð37Þ和挠率是常数）与内禀方程推论3.13。x2=x3=0且x1=1的直纹曲面（13）是可展曲面。推论3.14。如果基曲线是平面曲线，则x2=x3=0且x1=1的直纹曲面（13）是最小的。jsj和ssmj：然后由圆螺旋线生成的直纹面的位置矢量的分量为：8W¼11-值得注意的是，第二平均曲率和秒-1j1m2>2ΣpffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiΣΣ第二高斯曲率仅定义在非发展->pj1m1μm2js;备注3.15.在直纹曲面（13）上，x=x=0且>3p2 3>：W我们有WsxWv=-vje 3。这个曲面上的法向量是U = e 3。而在点（s，0）处，法向量1/4秒1秒2秒3秒4]：1立方米2因为Wsx Wv= 0。因此，所有曲率K，H，HII，KII，jg，jn和sg在点（s，0）处没有定义4. 由某些特殊曲线生成的直纹曲面在这一节中，我们考虑由一些重要的特殊曲线，如一般螺旋线和斜螺旋线生成的直纹曲面。情况（2）在这种情况下，我们采用具有由下式给出的内在方程的一般螺旋线：a m aj.j.j.j.j.j.j.j. sss;其中a是任意常数。然后直纹面的位置矢量的分量采用以下形式：2s2¼1米2米e3s-n cos1立方米2jsds;nsin1立方米2jsds;1-n2ð41ÞII>三维欧氏空间中某些特殊曲线生成的直纹曲面291>ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi8>W1¼p10s2000x1-mx3000x 1-mx1 作为2-x2v[H]i;8>W1/4nhR1/2Rj[S] v [S]d s]ds [S]v。[2x2-x1H -mx3p][2x2-x1H-mx3 p]21立方米21年b1年bM>.p拉吉吉W 2 ½ p100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 s2-[1-mx3-[1-[2-[1-（2-甲基-2-氧代-3-甲基-3-氧代-4-作为2-x2v[CO] s1/2H]i;>þpffiffiffiffiþffiffiffiffimffiffiffiffi2ffix11-H2-x3Hnn½U];1立方米21年b1年b<>hRR.p>：W<$p1½msvmxx];W2¼n½js[1-H2-[1-[2-[1-[2- 1-[1-[2 -1-[1- 13 1 31立方米2M>p<>292A.T. Ali等Mnj1;s1：494mn4m2n12n-1>>：W3¼nhRHdsvx1Hmx2x3p1-H2i;其中，H1/2mR为π，U1/2arcsi n½H]。294A.T. Ali等ð48Þ三维欧氏空间中某些特殊曲线生成的直纹曲面295nMn-Mnn2nn>c1sn1arcsinm约什·赫茨拉夫兹ds ds;MnMn31Mn联系我们约什·赫茨拉夫兹cos1 arcsinm约什·赫茨拉夫兹这种曲线的自然表示如下nRn2ð Þ¼R R 没关系R ð ÞΣΣ ΣMna m ajssp1-m2s2， s=p1-m2s2;其中a是任意常数。直纹表面的位置矢量的分量可以写为：在下面的内容中，我们提出了一些位置向量，M：>个296A.T. Ali等nl2MLMM重要倾斜 螺旋 等 萨尔科夫斯基反萨尔科夫斯基球面斜螺旋线三维欧氏空间中某些特殊曲线生成的直纹曲面297情况（1）在这种情况下，我们取一条Salkowski曲线[26，27]，298A.T. Ali等本征方程是：8>W<$nhx-mxv-m2sicos1/2H][hap1-m2sicos2/2H][xvisin1/2H];三维欧氏空间中某些特殊曲线生成的直纹曲面299M s300A.T. Ali等<>1M13a21m2-m2a21m2-m22p三维欧氏空间中某些特殊曲线生成的直纹曲面301W¼nhx-mxv-m2sisin½H]-hap1-m2s2-xvicos 1/2H];1-m2s22M1>3a21m2-m2a21m2-m22：W31/4n1/2ms（单位：V 1/2mx1/3m）];ð43Þ这种曲线的显式参数表示可以是302A.T. Ali等如下所示三维欧氏空间中某些特殊曲线生成的直纹曲面303e式中，H1/2sin-1/2ms]。304A.T. Ali等>8nhn-1nh1i>w1t=1m2n=1cos½n2n=1t]n =2n-1cos½n2n-1t] -2cos½t];
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