网络时间性对协同进化的影响

沙特国王大学学报网络时间性对协同进化的影响高阶网络Yanyi Niea，b，Xiaoyi Zhongb，Tao Wuc，Yanbing Liud，Tao Linb，Xiaoyi，Wei Wanga，Xiaoyi Wanga重庆医科大学公共卫生与管理学院，中国b四川大学计算机科学学院，中国成都c重庆邮电大学网络安全与信息法学院，中国重庆d重庆医科大学，中国阿提奇莱因福奥文章历史记录：2022年1月9日收到2022年4月1日修订2022年4月6日接受2022年4月12日在线提供保留字：网络时间性高阶社会网络共同进化流行病传播单纯形复合体A B S T R A C T人与人之间的互动，包括两两互动和高阶互动，可以近似为时间高阶网络，其中连接随着时间的推移不断创建和断开。同时，在自然界中，多种传染过程，如流行病传播，是协同进化的，并表现出协同，竞争和不对称的相互作用。传统的研究主要集中在对单次传播动力学的时间效应上.网络的时间性如何影响高阶网络上的共同进化流行病传播仍有待研究。本文提出了一个时间高阶社会网络上的协同进化流行病传播模型，该模型考虑了协同、竞争和非对称相互作用.通过微观马尔可夫链的方法，网络的时间性可以促进和流行病传染强度是指一种流行病的传染率与另一种流行病的促进（或抑制）作用的综合作用。网络的暂时性在传染病强度最大时促进传播。在协同传播的研究中，发现网络的时间性减弱了初始感染密度对爆发阈值的影响。实验结果表明，随着网络时间性的减弱，初始密度越大，爆发阈值越小。©2022作者（S）。由爱思唯尔公司出版代表沙特国王大学这是一个开放的访问CC BY-NC-ND许可证下的文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍1.1. 背景现实世界的网络和它们上的动态过程是共同进化的（Holme和Saramäki，2012; Salamaki等人， 2010年）。网络进化是指随着时间的推移，节点之间的联系出现和消失例如，在社交网络中，个体之间的通信链接可以随着时间的推移而建立或断开（S，im，sek，2021;Min等人， 202 1）。动态过程通常是指网络中节点状态的变化（Ren和Wang，2014）。 采用被广泛用于描述信息和流行病传播的易感-感染-恢复（SIR）房室模型（Singh等人，2021; Razaque等人，2022），作为一个例子，动态过程可以解释为在易感，感染和*通讯作者。电 子 邮 件 地 址 ： lintao@scu.edu.cn （ T.Lin ） ， wwzqbx@hotmail.com ，wwzqbc@cqmu.edu.cn（W. Wang）。恢复的国家。网络演化与动态过程演化的相对时间尺度决定了我们所处理的网络类型。个体之间的互动形式并不局限于点对点，而通常与某个事件相关，如会议、课堂，都是一群人在某个时段内进行互动，可以描述为高阶网络（Gao and Liu，2017; Panet al.，2021; Pan等人，2021; Tang等人，2012年）。与典型的成对相互作用不同，高阶相互作用中的个体通常同时受到两个或多个对象的影响。 例如，在生物网络中，神经元发送和接收来自几个相邻伙伴的脉冲（Giusti等人，2016年）。然而，在社会学中，人们普遍认为，社会集团的动态通常不仅受到其成员的成对互动的影响，而且还受到复杂的同伴影响和强化系统的影响（Alotaibi和Rhouma，2021; Qin等人，2015），如一致性实验（Petri和Barrat，2018）。诸如社交网络的真实世界网络被定义为使得能够在用户之间进行通信和交互的应用或网站（Ayman等人，2022; Cheng等人， 2021年）。大https://doi.org/10.1016/j.jksuci.2022.04.0041319-1578/©2022作者。由爱思唯尔公司出版代表沙特国王大学这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表沙特国王大学学报杂志首页：www.sciencedirect.comY. Nie，X.钟氏T.Wu等人沙特国王大学学报2872在社交网络上经常存在许多传播动态过程（Yu等人， 2021年; Yang等人， 2020; Berahmand等人，2022; Ojha等人，2021; Gupta等人，2020年）。特别是这些过程包括多个传播动力学的协同进化传播，传播动力学和网络是同时协同进化和相互作用的。多重扩散动力学表现出协同、竞争和不对称的相互作用（Wang等人，2019年; Hu等人， 2020年）。1.2. 贡献本文的主要研究问题是评估网络时间性对流行病协同进化传播的影响。采用广义时间单纯复形来描述高阶社会网络。提出了一个数学上的共同演化的单纯易感-感染-易感模型，并用马尔可夫链方法描述了该模型的传播动力学。概括地说，本文的主要贡献如下。(i) 提出了一种描述协同进化过程的在理论模型中，单纯复形用于描述节点间的高阶相互作用，演化时间尺度Sp用于度量网络的时间性。理论计算结果与仿真结果吻合良好，证明了理论方法的准确性。(ii) 揭示了网络时间性对高阶网络上协同进化流行病的影响发现网络时间性和动态参数（例如，1-单形感染率、2-单形感染率和初始密度）形成传播动力学。弱网络暂时存在爆发阈值小、初始感染密度高的只有当Sp近似小于5时，网络时间性才与感染密度成反比.(iii) 在三种协同进化模型中，网络的时间性在不同的感染参数下对传播具有抑制和促进作用流行病感染强度定义为流行病的感染率和另一种流行病的促进（或抑制）效应的综合效应网络暂时性仅在传染强度最大时才促进传染病的传播。1.3. 文件的组织本文的其余部分按以下方式组织。在第三节中，为了刻画相互作用的流行病的传播，给出了一个普适的协同进化模型。在第4节中，摘要微观马尔可夫链方法为动态过程提供了一个数学形式化框架。然后，在第5节中给出了几个数值结果。最后，在第六节中总结了一些观点。2. 相关工作关于时间尺度对传播动力学的影响有许多研究。当网络的连接边的变化率远低于其上动态过程的演化率时，网络可以被视为静态网络（ Pastor-Satorras and Vespignani ， 2001 ） 。 Pastor-Satorras 和Vespignani（2001）讨论了拓扑结构对传播动力学的影响，揭示了无标度网络中缺乏流行病阈值。相反，即，网络的发展比动态过程更快，网络被退火（Boguñá等人，2009年; Vilone和Castellano，2004年）。Boguñá等人（2009）研究了退火无标度网络上发生的接触过程的动力学。他们发现，当度离散有一个硬上限时，拓扑结构的波动会对系统大小产生异常的标度效应。Vilone和Castellano（2004）分析了退火小世界网络上投票模型的行为。他们的研究论证了投票模型动力学对拓扑结构的淬火或退火性质的相对不敏感性在大多数情况下，网络应该被视为时间网络（Habib，2007）。也就是说，网络演化的时间尺度与动态过程的时间尺度相当（Holme and Saramäki，2012）。 在这种情况下，网络的时间性在形成传播动态方面至关重要（daSilva等人，2019; Holme，2016）。Perra等人（2012）提出了一个活动驱动的网络模型，其中连接的边随时间快速变化，并发现网络的时间性抑制了流行病的传播。 Pozzana等人（2017）揭示了个体活动与吸引力之间的负相关性可能会增加流行阈值。时间网络上的传播动力学是一个研究热点（Holme和Saramäki，2012; Moinet等人，2018年）。Gong等人将集合种群模型与时间特性相结合来研究流行病的传播（Gong等人，2013年）。Xue等人发现网络的时间性可以促进和抑制信息传播（Xue等人，2020年）。特别地，一些研究讨论了时间尺度在耦合传播中的作用（Ventura等人，2021; Wang等人，2017），并发现了不同时间尺度下稳态普遍性和相图的变化以及非对称相互作用中固有的瞬态高阶网络上的传播动力学也是一个热点研究课题。Battiston等人（2021）讨论了高阶相互作用导致集体行为的最新证据，揭示了高阶物理学中的三个重要障碍。 de Arruda等人（2020）开发了一个分析模型，以显示具有较高互动的社会传染。他们发现，该模型具有充足的参数空间，包括一阶和二阶跃迁，双稳态和滞后。Li等人（2021）发现，虽然成对相互作用在传播的早期阶段是必不可少的，但一旦传播获得覆盖，高阶单形就会接管并驱动接触动态。模型Neuhäuser等人（2020）分析了超图上的共识动力学，揭示了高阶动力学效应只有在相互作用函数是非线性的情况下才会出现。Chowdhary等人（2021）研究了时间网络上的高阶相互作用，并表明时间性限制了高阶扩散的影响。共同进化的传播是常见的。 协同相互作用是指两种通信之间存在正反馈，其中一种通信的存在促进另一种通信（Chen等人，2017年;Li等人， 2021年）。 Chen等人（2013）讨论了协同性的关键作用，并观察到两种疾病必须共存的连续过渡和不连续过渡。具体而言，Patania et al. （2017）使用不同的超图来研究群体互动如何影响合作的演变，并说明参与者之间的互惠性如何随着互动顺序的增加而增加。当宿主被一种病原体感染时，它对另一种病原体部分或完全免疫，这种情况通常被称为竞争性相互作用（Khanjanianpak等人，2020; Lin和Li，2012）。Twitter和Facebook应用程序上的URL是这类内容的示例（Gleeson et al.，2014年）。研究人员已经探索了竞争性相互作用，并证明在完全竞争的情况下共存是不可能的（ Bagarello et al. ， 2020;Burgio 等 人 ， 2020 年 ） 。 Li 等 人（2022）和Nie等人（2022）研究了基于以下的高阶竞争相互作用：Y. Nie，X.钟氏T.Wu等人沙特国王大学学报2873不D DDD伊伊不不不不111222tmaxtmax不tmaxtt0的t0理论方法如平均场（Cai等人，2019）和马尔可夫链方法（MMCA）（Gómez等人，2010年）。他们发现，与成对相互作用中的竞争不同，高阶竞争关系表现出更丰富的相变，显示了高阶感染的关键作用。分别为hj<$jEjtj和hD<$jEDj。图1a显示了时间简单复合物的示意图，从数学上讲，的邻接矩阵Aj1; Aj2;···; AjtA; A;···; Ag用于充电-不对称相互作用也是普遍存在的，并且存在于许多环境中。Max1最大2t复杂系统（Noh and Park，2005）。例如，已经报道了一些其他病原体的存在抑制HIV载量，但是HIV可以促进其他病原体的生存力（Xianget al.，2009年）。关于不对称相互作用的现有研究集中在流行病传播和意识之间的相互作用（Funk等人，2009年）。研究表明，一般而言，提高对这一疾病的认识可有效降低其流行率和提高其阈值。已 经 分 别 在 高 阶 时 间 网 络 上 的 传 播 动 态 上 做 了 很 多 工 作（Battiston等人，2020;Holme和Saramäki，2012）。然而，仍然缺乏一个理论框架来描述网络的时间性对高阶社交网络上的共同进化的传播的影响3. 模型描述本节提出了一个通用的协同进化模型，以描述时间单纯复形上相互作用的流行病的传播。首先，在3.1节中介绍了时间单纯复形，然后在3.2节中描述了一般的协同进化epidemics.3.1. 时间单纯复形(i)时间单纯复形单纯复形是一种广泛使用的范式，其编码成对连接（即，链路连接两个节点）和更高阶的交互（即，超链接连接两个以上的节点）。广泛的实证分析表明，节点之间的相互作用随时间而变化（Holme和Saramäki，2012年）。 也就是说，在时间t存在的连接节点i和j的链路ejij（或连接节点i; j和“的超链路eD）可能在时间t消失。下时间步的时间单纯复形在时间t，分别为1-和2-单形。与简单网络中的含义类似，Ajij1意味着节点i和j之间存在连接，否则，Aj0。如果节点i;j和'属于同一个2-单形，则存在A D 1/4 1。通过以下步骤生成网络G（一）设置网络G中的节点数N。(ii)生成网络Gt。在不同的时间步长t-t0中，单纯复合体的基本组织是不同的，即，GtV;Ejt;ED-根据随机单纯复形（RSC）模型创建RSC模型允许获得具有受控广义度性质的齐次单纯复形。完成网站网络G tV;Ejt;ED，需要D1参数，包括N顶点和D连接概率fp1;. ; p k;. ; p Dg; 0 6 p k 6 1。在我们的模型中，RSC模型被限制为D1/2，其中包含三个参数N;p1;p2n。1-单形是通过以概率p 1连接任意一对顶点来创建的。类似地，2-单形通过以概率p 2连接顶点的任何三元组i;j;' 来 添 加。因此，单纯复形的平均度为hki<$hkji <$2hkDi<$1-p1<$，其中hkji<$N-1 <$p1是的1-单形平均度和hkDi^N-1^N-2^p2=2是2-单形的平均次数。(iii)删除网络Gt<$V;Ejt;ED<$中的1-和2-单形，并设置t！ t 1. （iv）重复步骤（ii）和（iii），直到t达到tmax。(ii)协同进化单纯流行病模型两种单纯流行病在时间单纯复形上传播。动态模型具有两个特征：（i）网络结构随时间演化，（ii）两个单纯epidemics随时间相互作用。 网络拓扑结构的发展速度快于或慢于流行病的传播速度，这对形成这种现象至关重要。为了量化网络的时间性，引入了一个新的参数Sp，并命名为演化时间尺度。 也就是说，单纯型传染病在网络上演化为SpGV;EfGV;Ej;ED;GV;Ej;ED;···;GV;Ej;ED 布罗格是G tV; Ejt; ED。Sp的值决定了用于描述网络的时间性，其中Gt<$V;Ej;ED<$是网络结构演化与流行病协同演化不t扩散。对于Sp1的情况，扩散动力学和净-时间t的单纯复形;V表示节点集，Ejt和ED表示成对和2-单纯形相互作用。本文只考虑具有1-和2-单形的时间单纯复形。节点数为N^jVj。在网络Gt<$V;Ejt;ED<$V中，成对单形和2-单形的数目是工作拓扑在同一时间尺度上演化，表现出很强的网络时间性（如图2a所示）。随着Sp的增大，网络的时间性减小。图2b显示了Sp/2的一个例子，其中单纯流行病在网络之前在同一单纯复形上进化2步。图1.一、两种共同进化流行病的例证a. 时间单纯复形的图示，其中成对和高阶相互作用随时间演化B. 共同进化扩散动力学动态参数设为BX<$F<$bj;bD<$;B^X<$G<$b^j;b^D<$;X2f1;2g，其中包含了1-单纯形的传染参数和2-单纯形。XXXXY. Nie，X.钟氏T.Wu等人沙特国王大学学报2874S1S1S12fg2fg图二、不同时间尺度下单纯流行病协同进化示意图 研究了a中Sp 1/2和b中Sp1/2的协同进化、流行病传播动力学和结构进化过程。不同颜色的节点代表不同状态的个体。不同形状的箭头用于指示不同的感染率。结构演变。 对于Sp-！1、传播动力学在静态网络上演化。Sp值越大，网络的时间性越弱反之，Sp值越小，网络时间性越强。基于以上描述，可以实现时间上的可以构造更高阶的网络，作为基础和bj1S1S2你好！I 1 S 2I 1S 2：S1S2状态变成I1I2国家是禁止的，即，易感节点for the dynamic动态evolution进化.3.2. 协同进化流行病传播这两个共同进化的流行病被表示为流行病1和流行病2。2.每种流行病根据单纯易感-感染-易感（SIS）模型（Iacopini等人，2019年）。如图1b所示，有四种可能的状态：S1S2;I1S2;S1I2和I1I2。不能同时感染两种流行病如果节点v对流行病1敏感但被流行病2感染，即，如果节点v处于S1/2状态，则感染将以速率b1/1传输。从数学上讲，b^j12点12分！1 2þ 1 2和X1Y2状态意味着一个节点对于S1处于X1和Y2状态b^j1这两种流行病，其中X S; I和Y S; I .在下文中，详细描述了协同进化扩散动力学。首先描述流行病1。由于两两传染与高阶传染并存，因此先描述两两传染，再描述高阶传染。在下文中，描述了在每个时间步长处的协同进化扩展(i)成对传染如果易感节点v处于S1S2状态（即，节点v没有被任何流行病感染），并且通过成对交互连接到处于I1 S2或I1 I2状态的邻居，v变为I1 S2，BJ112分11分12分！I 1 I 2I 1 I 2：高阶相互作用引起结构加固效应。b^j1的值决定了两种流行病之间的相互作用类型，这将在后面讨论(ii)高阶传染在时间单纯复形中，高阶接触发生在2-单纯形中。对于S1S2状态节点v属于2-单纯形r，并且它两个邻居都处于状态I1 S2或状态I1 I2），则存在1- 1-bj21-bDS1S2 第一代S2！I1 S 2第一代S2S1 S2I1I11Þ ð！1 I1 S2 I1 I1Y. Nie，X.钟氏T.Wu等人沙特国王大学学报2875我i;2i;211SIÞ2i;222i;1-我我我1i;2i;2我2i;1i;1我我11XXXX十二个！1 21 2十二个！1JJ1 2变成S1S2状态，i;11JJ‘‘我i;1我I Ir1; r2其中I12fI1S2;I1I2g。S1 S2状态变成I1I2状态不是qS1S2t1 -qI1S2t-qS1I2t-qI1I2t：1我允许的. 上述描述表明，高阶连续性，我我我仅当2-单纯形中节点v的两个邻居r携带同样的流行病。如果节点v属于2-单纯形r，并且易受epi影响，首先研究了qI1S2的时间演化，qI1S2t1qI1S2t1-rq^j ðtÞq^DðtÞ þqS1I2ðtÞr½1流行病1，但被另一个感染，即，可以引起结构增强效应。也就是说节点v会被感染— q^jI1 I 2 I 1-R 1 I2I1- R 1I2I1 -R1I— qjtqDt]f：21- C1-b^j21-b^Dii1利率为S1I2I1I11Þ ð！1 如果它的两个相邻-如图 1b，qI1S2πt πt的态演化由以下组成：2-单形r中的硼处于I12fI1S2;I1I2g状态。(iii)复合变换请注意，状态为S1I2的节点可以通过具有恢复和感染事件转换为I1S2具体地，当处于状态S112的节点v与携带有信号的相邻节点接触时，我四个场景。(i)场景1：保持在I1S2状态.对于处于I 1 S 2状态的节点i，每个时间步内存在两种转换情况：（a）以概率r 1恢复到S 1 S 2状态，以及（b）以概率1-q^ji;2tq^Dt感染流行病2。如果情况（a）或（b）都不是，传染病1，它将有概率感染传染病1b^j （b^D），虽然它携带的流行病2本身将以概率恢复，(b) 发生时，节点i在时间步长处保持在I1S2状态t1. 上面的过程对应于能力R2从数学上讲，右边的Eq。 （2）其中q^ji;2特罗兰德q^Dt表示b^j b^D;12分1秒2！I1 S2 I1 S2在1-单纯形和2-单纯形中节点i不被传染病2传染的概率，当传染病1已被传染时，和b^jb^D;r2分别地。q^ji;2的解析表达式写为q^D可以S1I2I1I21！1I1S2I1I2：q^j 关于我们yh1-b^j2.qS1I2tqI1I2ti; 2003年感染率是否为b^j 或b^D 取决于节点vi;2J Jj2ji1 1会经历成对传染或高阶传染。对于传染病2的传染过程，情况与传染病1完全相同，除了数学符号是和q^D不等于Yh1-b^D。qS1I2tqI1I2tqS1I2tqI1I2ti;4不同的，例如，1-单纯感染率bj2;b^j2 和2-单形感染率bD;b^D。i;22Jj;j应用我们的模型来描述三种典型的协同进化，即，设定协同、竞争和不对称，BX1/4F1/bj;bD 1/bj;B^X1/4G1/b^j;b^D1/b j;X2f1;2g。 参数BX和B^X决定了协同进化扩散动力学的类型。 如果BX>B^X;X2f1;2g，则两个动力学是竞争的.如果BXB^X;X2f1;2g，则这两种流行病是协同的，分别注意，ji和Di分别表示节点i(ii) 场景2：从S1I2状态转换为 I1S2状态.第二项在右边的方程。（2）对应于复合变换。当节点i在时刻t处于S1I2状态时，演化过程分为两步.（a）节点i被流行病感染1当传染病2已经被感染的概率促进彼此 如果BX>B^X但BYq0和bD<$bD<$bD。当网络连通性不影响疫情传播。在这一点上，初始感染密度的增加，sp5，时间弱化有非常显著的贡献<传播。 实验在协同进化任何参数条件降低感染阈值。spreading，qωI S ;qωSI 和qωI I是80次1 2 1 2 1 2更直观地展示不同参数下网络时间性对协同传播的影响 感染范围随时间的变化曲线见图。 四、当1-单形感染率很小时，时间性可导致系统中没有感染个体实验中的1-单形感染率固定为b1/40： 095。类似系统达到稳定状态后的步骤。发现在Sp1/4时，只有当2-单纯形感染率和初始密度都很大时（用橙色图标表示），才会发生流行病爆发。随着网络的时间性减小，大约达到Sp1/45，网络时间性的任何减弱都会导致最终感染范围的显著增加怎么--到的先前实验，那里是q0<$q0<$q0和bD¼ bD¼ bD. 实验结果与结果相对应，感染程度变化不大，总体稳定。如图3所示。 由于协同效应，这两种 流行病在（a）和（b）中清楚地观察到。 在子情节中然而，随着网络的时间性不断减弱，Y. Nie，X.钟氏T.Wu等人沙特国王大学学报2878见图4。 不同网络时间性强度下的协同传播演化图。有Sp （a）-（c）中的¼ 1，Sp （d）-（f）中的¼ 10，Sp 在（g）-（i）中为1/40，在（j）-（l）中为Sp 1/4600。图中的实线表示模拟实验的结果，如（c）中的图例所示，不同的颜色表示不同的参数组合同样，r 1 <$r 2 <$0：8。图五、协同效应下稳态感染密度与网络时间性强度的关系图中的实线表示理论结果，符号表示实验模拟结果。 具体参数如（c）所示，r1/ 4 r2/4 0：8。(c)由于两种流行病的感染人数都很少，此外，2-单形感染率的影响仍然很明显，高2-单形感染率促进了流行病的传播。先前的文章已经揭示了两种流行病传播在较大的2-单纯形感染率下表现出丰富的相变（Li等人， 2022年）。进一步研究了网络时间性对系统协同进化的影响在这三种协同进化模式中，流行病感染强度被定义为流行病的感染率和另一种流行病的促进（或抑制）效应的综合效应。网络暂时性仅在传染强度最大时才促进传染病的传播。首先，根据协同效应，在不同的网络时间强度下，绘制了qωI1S2、qωS1I2和qωI1I2随bj1和bj2的变化图. 早上6图中显示了理论结果根据Eq. （2），方程。（16）Eq.（18），其中t最大值为120。以图1第一列的结果为例。 以qωI1S2为例，一般情况下，流行病1的感染程度显著增加。随着bj1的增加而显著地和渐进地增加。当bj2>0： 1时，两种流行病的协同作用下，流行病1的爆发阈值约小于爆发阈值当bj20： 1时的阈值。<然而，感染的最终程度是仍然由bj1确定。（b）、（e）、（h）和（k）示出了q ω S1 I2的相图。情况正好与qωI1S2相反。第三Y. Nie，X.钟氏T.Wu等人沙特国王大学学报287912图六、协同流行病在时间单纯形复合体上传播的相图A. 参数空间上的相图.B. 在几个时间尺度上密度差与Sp ¼ 1的相图。 在图A中，图表上的颜色表示从理论计算获得的最终感染密度，时间尺度为Sp1/4in（a）-（c），Sp1/410in（d）-（f），Sp1/440in（g）-（i）和Sp1/4120in（j）-（l），而所示流行密度为qωI1S2（第一列），qωI1I2（第二列）和qωI1I2（第三列）。图B中的颜色条是密度差值。 在上面的实验中，bD/bD固定为0：4，并且存在r1/r2/0：8。图6A中的一列显示了感染这两种流行病。 发现bj1和bj2共同等价地作用于qωI1I2. 此外，网络时间-在一般情况下，人们发现它能抑制流行病的传播。为了更清楚地显示网络暂时性的影响，图中绘制了不同网络暂时性强度的感染范围的差异。 6 B. 图中的结果。 6 B是从图计算的。早上6图6A中的每个结果从当Sp 1/41时的相应情况下的结果中减去，即，图6A的第一行，以获得图6A中相应位置的结果。 6 B. 例如，（d）在图。图6 B =（d）-（a）早上6研究发现，当网络节奏较弱时，网络越趋于静态，感染的范围就越大这一现象最为亲--在接近爆发阈值时宣布特别地，还发现了图中 以qωI1S2的相图为例，当bj1较大，bj2较小时，在在相互促进的条件下，流行病1的影响最大在这个时候，感染的严重性和绝对的传播优势。相反，这种暂时性在一定程度上促进了流行病向网络中所有节点的传播，最终感染密度更大。竞争传播也是流行病共同进化的一个组成部分其次，绘制了1-单形传染率bj1和bj2的传染密度在竞争传播中Ted.如图7A所示，与协同扩散不一致，因为bj2图7.第一次会议。竞争性传染病在时间单纯复形上的传播。 A. qωI1S2、qSω1I2和qωI1I2与变量b1j的相图 和bj2π。 B. 竞争价差下的微分相图。本实验的其他参数与图1一致。 六、Y. Nie，X.钟氏T.Wu等人沙特国王大学学报2880图8.第八条。 时间单纯复形上非对称扩散的相图。 A. 受感染节点的密度qωI1S2;qωS1I2和qωI1I2作为bj1和bj2的函数。 B. 非对称传播中感染范围的差异图。 参数设置同图。 6和图7.第一次会议。（bj1）增加，它不会促进流行病1（流行病2）的传播，而是增加流行病的爆发阈值1（流行病2），并减少其传染范围。感染这两种流行病的人也几乎不存在。当关注网络时间性的影响时，如图所示。 7B，发现网络的时间性越弱，感染范围越大，尤其是在bj1/40： 1（bj21/40： 1）和bj20： 1（bj10： 1）。<<这一现象表明网络的时间性对疫情的影响更大当bj2（bj1）小时，流行病1（流行病2）的阈值。同样，图中也观察到负区域，这表明网络的时间性有利于在该区域传播。以qωI1S2为例，基于我们的模型，负区域的bj1值较大，而传染病2的竞争力几乎为零。在这种情况下，疫情1的感染强度最大，网络结构不断变化，以增加疫情1的覆盖范围。对qωS1I2则相反. 竞争传播中的网络时间性对同时感染两种流行病的个体密度几乎没有影响。最后，研究了网络时间性在非对称传播中的作用。在这个不对称传播的实验中，流行病1抑制了流行病2的传播，而流行病2促进了流行病1的传播。实验结果如图所示。8 .第八条。当关注感染密度相图时在图8A中，发现随着bj2增加，qωI1S2 开始减少。 而bj1的增加进一步扩大了qωS1I2的爆发阈值。 这揭示了两种流行病之间的不对称性。流行病1有更高的