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可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记317(2015)71-83www.elsevier.com/locate/entcs数字控制逻辑与连续动力学吉欧·卡布里角1,Robert C.杰克逊·阿姆斯特朗约瑟夫·梅奥Ruthru桑迪亚国家实验室,邮政编码Box 969,Livermore,California 94551-0969,USA摘要这项工作概述了一个方程为基础的制定数字控制程序和传感器相互作用-的连续物理过程,以及使用Coq定理证明器验证组合混合系统的性能的方法。考虑到简单的线性耗散的热动力学,我们专注于一个可推广的,物理上一致的描述的实值温度和数字程序作为恒温器的相互作用。这项工作的兴趣是发现和正式证明的界限的温度,变化的程度,和其他性能特征。我们的方法明确地解决了数学上表示决策问题的需要,模拟数字转换器,对于罕见的值,可能需要任意长的时间才能产生数字答案(所谓的布里丹原理);这种约束不可避免地体现在恒温器性能的验证中。此外,热物理中的时间因果关系约束必须明确,以获得一致的分析模型。我们讨论了这些发现对验证更复杂的物理变量和场的数字控制关键词:形式化方法,定理证明,混合系统,信息物理系统1引言混合或信息物理系统的形式验证[2]可以被视为数值软件验证的更广泛扩展-其中实值变量和函数的建模不仅仅是为了理解它们在数字计算中的表示,而是作为数字计算交互的实际物理现象。这种观点表明需要(1)扩展用于推理数字计算的形式验证技术,以包括连续动力学,以及(2)确保这种混合模型与物理学的一致性,包括数字计算本身的物理学。 也就是说,由于所有现存的系统都被认为是最终物理连续的,因此重要的是要理解1电子邮件:ghulett@sandia.govhttp://dx.doi.org/10.1016/j.entcs.2015.10.0081571-0661/© 2015 Sandia Corporation。出版社:Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/)。72G.C. Hulette等人/理论计算机科学电子笔记317(2015)71在什么情况下系统的部分可以被建模为数字的,以及如何对整个系统进行形式化推理。许多研究和开发工作的目标是使正式核查成为可能的混合系统,通常在所谓的混合automata模型检查的形式[3,9]。 我们认为,现有的工作是在不同的方式太广泛,过于狭窄:自由结合离散和连续动力学的建模方法很容易引入不适定和非物理行为,因为这两种类型的动力学之间存在微妙的相互作用[7]。通过模型检查对混合系统的推理仅限于可以通过枚举连续状态空间中的离散区域来保守验证的属性;即使使用定理证明的方法也实现了模型检查策略[14]或依赖于限制性逻辑来正式建模混合系统[12]。工作存在于通过定理证明正式分析连续微分方程,但没有建模到数字逻辑的耦合[13]。我们提出了一种方法,可以利用Coq定理证明器[5]中高阶逻辑的全部功能来推理物理上一致的混合数字物理模型。与模型检查方法不同,我们的目标不是完全自动化验证,而是提供最大的能力和可扩展性,以便严格推理感兴趣的属性,利用对数字和物理元素的系统设计的理解。在本文的其余部分,我们提出了物理建模的考虑,激励这项工作(第二。2);一个简单的混合恒温器模型用来说明我们的方法(第二节)。3);该模型的分析使用非正式数学传达的关键思想(节。4);一个相应的形式分析在Coq定理证明器(节。(5)一个结论。(六)。本文中显示了形式分析的摘录,完整的Coq实现可在线获得[1]。2混合建模这项工作的新颖之处在于一个几乎微不足道的网络物理系统,但与连续的物理变量的忠实建模为实数耦合一致的数字控制程序的正式证明。一个值得注意的限制[13]典型的方法来控制物理问题是,连续物理是第一次“数字化”,并产生的,完全数字化的模型,然后进行我们注意到,这种共同战略可能会掩盖重要的物理限制。其中一个约束就是因果关系,即一个物理效应在时间上不能先于它的原因。另一个是仲裁者问题[ 4 ],也被称为布里丹原理[ 10 ],这是一个模数转换)不能保证在有界时间内完成;在寻求关于实数上的离散决策的形式保证的任何分析中必须考虑该属性。有趣的是,这两个物理限制也与可计算性的考虑密切相关,如果采取物理宇宙本身可能起源于一个物理宇宙的观点,这是自然的。G.C. Hulette等人/理论计算机科学电子笔记317(2015)7173------基本计算过程[15]。2.1因果关系因果关系意味着物理变量的值只取决于它的初始状态和随后发生的事情,即,未来的事件不能排除现在或过去的任何变量,任何不满足这一约束的系统都被认为是非物理的。在计算上,因果关系表现为一个要求,即对于描述因果系统的递归定义程序,递归必须始终是有根据的,即,必须最终终止任何输入。对于我们的应用程序(在第二节中详细描述)。3),我们希望在离散时刻评估实值物理变量T,这些离散时刻形成潜在的无界有序集...,t n,tn−1,.,t0(从未来到过去列出)。 我们将依赖于直接构成解的“传播子”的物理概念在可以应用于这种物理的几种传播子中,我们从“宏观”传播子开始TiT(ti)=U(ti,tj,Tj,F)其中ti>tj(1)=U(ti,tm,U(tm,tj,Tj,F),F),其中ti> tm> tj,(2)其中,在相应的事件时间序列(外部强迫)F =.的影响下,U从T的初始值的初始时间前进到最终时间,f n,f n−1,.,f0。 等效的时间演变一次完成所有在方程。(1)或在Eq.(2)是一个必要的一致性属性,适用于允许的物理动力学。F被选为离散集,但可以很容易地扩展到连续时间。考虑到传感器仅在离散时间与T相互作用(第二节)。3)、离散事件与本项工作最相关在一个正式的分析Eq。(2),这是必要的,以显示时间演化计算终止或有一个解决方案。这在物理上由因果关系属性确保:U(ti,tj,Tj,F)=U(ti,tj,Tj,Fi j),(3)其中Fij是子集f i−1,.,f j+1,等式中的f j(一).也就是说,时间演化算子实际上只依赖于在初始时间和最终时间之间发生的事件。(As我们的约定是,T i是恰好在事件f i之前存在的状态。)节中5,我们将展示如何在Coq定理证明器内的终止证明中反映这一点-而这里引用的因果关系的具体形式是基于物理动力学的马尔可夫性质,它断言对于一个合适的变量,如T(满足适定的微分方程),一旦Tj给定,演化也不依赖于fj之前的事件也就是说,先前事件的影响被捕获在初始74G.C. Hulette等人/理论计算机科学电子笔记317(2015)71条件Tj,并且随后可以被“遗忘”。这个属性有助于限制因果传播物理状态所需的信息。2.2布里丹通常会进行正式验证,以识别罕见但可能导致中毒的极端情况行为。布里丹原理描述了一个经常被忽视的问题,在网络物理建模中,经常需要关于连续变量的离散决策,尽管这样的决策不能保证在有限的时间内完成。布里丹固定的时间许多网络物理分析在分析之前先对物理学进行了分析,这种方法很方便,但无法保持基本的连续性,而这种连续性可能会导致真实系统中出现意想不到的犹豫不决--这正是正式核查试图揭露的极端行为在我们的方法中,我们通过用一个连续函数来表示一个连续变量(温度)的决定来解释布里丹原理,该函数返回一个在任意小的区间之外的0或1个决策,但值介于0和正如因果关系一样,我们也观察到布里丹原理与终止计算或可判定性的密切联系。当连续的实值被计算地表示时(例如,使用任意精度算术),实值与阈值的布尔比较(或更一般地,任何不连续函数的求值)是计算上不可判定的问题。这个问题通常被称为表制造商值得注意的是,布里丹原理与实际计算机对离散状态的物理传播并不冲突。给定一组不连续的初始状态(例如,表示0或1的电压),适当的连续非线性电路可以通过在随后的时钟周期计算得到的离散状态来完美地实现逻辑[10]。因此,纯数字模型及其传统的形式分析对于以这种方式建立的计算组件是有效的和有价值的,但对于全面理解包括连续输入和输出的网络物理系统行为是不够的。后一种考虑需要理解,例如,潜在的非数字行为从一个名义上的数字设备的犹豫不决3恒温器模型在物理方面,该模型描述了理想化的热均匀物体,其通过来自换能器的快速热脉冲(理想化为瞬时的)不时地获得热量,并且通过线性冷却定律将热量损失到环境。传感器被设计为通过以均匀的时间间隔测量T,将物体的温度T保持G.C. Hulette等人/理论计算机科学电子笔记317(2015)7175→→以及如果T低于阈值则施加热脉冲。虽然这是一个相对简单的恒温器行为,但我们将其视为数字控制逻辑与物理动力学耦合的实例,可以推广到更复杂的场景。特别是,即使是这个简单的恒温器也体现了前面提到的挑战:以一种适定的因果形式对信息物理系统进行建模,并解释模数转换中的犹豫不决。为了方便起见,我们将时间单位作为传感器测量之间的间隔,并将温度刻度的零点作为环境温度。我们的模型有四个正实参数:冷却系数α,由于热脉冲引起的温升H,标称阈值温度T,以及犹豫不决的温度裕度T。施加约束条件T>T(参见下图)。 一个额外的参数是“仲裁”函数θ:RR,近似的单位阶跃函数,但允许犹豫不决,而不是要求一个不切实际的不连续性。对于所有Δ∈R,仲裁器必须满足θ∈[0,1],(4)Δ> Δ= ΔΔ−=<θ(Δ)= 1,(5)θ(Δ)= 0。(六)物理系统的行为由温度描述为时间的函数,T:R≥0R,假设系统在时间t=0开始运行。代替传统的微分方程公式,我们使用积分方程,对应于时间演化算子U中讨论的二、此外,遵循物理学中的标准技术,我们利用热动力学的线性通过叠加以“微观”传播子的形式来表示U后者的传播代表个人,线性组合的解决方案的贡献,并在一般情况下,包括一个核心,传播初始或边界条件和格林在我们的热的情况下,核和格林函数减少到相同的传播子G(t,tJ)=e−α(t-t′)θ(t-t J).(七)这里的(精确的)单位阶跃函数θ我们取θ(0)= 0,这相当于T(tJ)本身不受在时间tJ发生的可能离散事件影响的惯例;这允许我们更方便地对与换能器的“瞬时”相互作用建模然后,我们的热系统的时间演化算子(1)通过线性叠加初始条件T(tj)和76G.C. Hulette等人/理论计算机科学电子笔记317(2015)71∫-是的Σ−我 Jdt q( t) e我后续加热事件:T(ti)=U(ti,tj,T(tj),F)=T(tj)G(ti,tj)+∞dtJq(tJ)G(ti,tJ)TJ(八)−α(t-t)tiJTJJ−α(t-t′)在这里,由于G中的容性增强阶跃函数,积分的tJ>t i部分消失;函数q是热强迫项,在我们的情况下,它是热脉冲的总和。按照我们的惯例,任何在精确时间t j的离散强迫事件都要包括在积分中,因为它还没有反映在T(t j)中。到目前为止,我们已经利用了热动力学关于q的线性关系,认为这是一种外部强迫。我们现在引入来自传感器的反馈,这使得完全耦合的信息物理系统非线性。也就是说,∞q(t)=H θ<$T <$−T(l)δ(t − l)。(九)l=0l上的离散和反映了数字控制逻辑仅在整数时间周期性地与物理相互作用的事实。当且仅当当前温度低于TΩ时,控制逻辑设计寻求提供幅度为H的热脉冲。施加约束T> T是为了确保θ(T0)= 1,即,换能器的操作是非平凡的,并且不允许物体简单地保持在(零)环境温度。布里丹事实上,θθ是一个非线性函数,使得时间演化算子(8)在T中同样是非线性的,一旦包括了强迫对T的依赖性。4恒温器模型该信息物理系统性能的关键特征是其将温度保持在高于(零)环境温度的期望范围内的能力。因此,我们希望证明以下定理作为某些特定界限0 t j≥0。G.C. Hulette等人/理论计算机科学电子笔记317(2015)7177.ΣH≥推导如下:首先在引理中专门化t=n+1,并回忆T(0)∈[A,B]的假设,我们通过归纳得到T(n)∈[A,B],对所有n∈N。现在,对于t= 0,定理(10)是平凡有效的,对于t >0,我们专门化n=[t|在引理中取-1,并得到所需的结果。这建立了所有t∈R≥0的温度界限。我们现在讨论引理(11)对任何满足以下条件的A和B0<$,所以θ<$。T−T(n)=1。因此,在本发明中,T(t)=T(n)+H e−α(t-n)≥(A + H)e−α。(十四)所施加的条件(12),A≤eα−1,(15)两边都乘以1−e−α,然后加上Ae−α,得到A≤(A + H)e−α。(十六)因此,T(t)A.解释:如果温度T(n)足够低,那么在时间n处发生热脉冲,即使随后冷却,也足以将温度保持在A或以上。4.1.2高T(n)范围如果T(n)∈[T−B,B],则因为θ在其整个定义域中是非负的,T(t)≥T(n)e−α(t-n)≥(T−)e−α≥A,(17)78G.C. Hulette等人/理论计算机科学电子笔记317(2015)71其中最终不等式来自A上的条件(12)。解释:如果温度T(n)足够高,那么即使没有热脉冲,随后的冷却也不会使温度低于A。G.C. Hulette等人/理论计算机科学电子笔记317(2015)71794.2证明T(t)≤B4.2.1低T(n)范围如果T(n)∈[A,T+],则由于θ总是返回≤1的值,我们有T(t)≤.T(n) +He−α(t-n)≤T+H≤B,(18)其中最终不等式是施加在B上的条件(12)。解释:如果温度T(n)足够低,那么即使有热脉冲,温度仍然≤B。4.2.2高T(n)范围如果T(n)∈(T+,B],则T− T(n)<−,因此θ。T−T(n)=0。因此,在本发明中,T(t)= T(n)e−α(t-n)≤ T(n)≤ B。(十九)解释:如果温度T(n)足够高,那么在时间n没有热脉冲发生,随后温度只是进一步冷却到B以下。在覆盖了所有情形之后,我们得出结论:T(t)∈[A,B],Q.E.D.5正式实施我们已经在Coq交互式定理证明器[5]中形式化了我们的分析,它允许我们精确地定义模型的各项,然后陈述和证明关于这些项的定理。为了对连续变量进行建模,我们使用Coq标准库中提供的Reals模块5.1布里丹原理的解释对于我们的分析,仲裁器函数θ,如第2节中所讨论的。2,不需要明确定义,但必须有必要的属性断言对应于方程。(4)参数eps:R.假设eps pos:0 eps→theta波浪线d = 1。假设theta波浪线0:
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