1鲁棒非刚性配准的姚宇欣1邓柏林2徐伟伟3张居庸1张1中国科学技术大学2加的夫大学3浙江大学yaoyuxin@mail.ustc.edu.cnDengB3@cardiff.ac.ukxww@cad.zju.edu.cnjuyong@ustc.edu.cn摘要非刚性配准是计算机视觉中的一个经典难题，它具有不完美的数据（噪声、异常值和部分重叠）和高自由度现有的方法通常采用稳健估计器对拟合和光滑性进行正则化处理，并使用邻近算子解决由此产生的非光滑问题。然而，这些算法的收敛速度慢，限制了它的广泛应用。在本文中，我们提出了一种基于全局光滑鲁棒估计的鲁棒非刚性配准公式，用于数据拟合和正则化，可以处理离群值和部分重叠。我们应用优化最小化算法的问题，它减少了每次迭代解决一个简单的最小二乘问题与L-BFGS。大量的实验表明，我们的方法的有效性，非刚性对齐两个形状之间的离群值和部分重叠，定量评估表明，它优于国家的最先进的方法 在 配 准 精 度 和 计 算 速 度 。 源 代 码 可 在https://github.com/Juyong/Fast_RNRR 上 获得。1. 介绍随着诸如Kinect、PrimeSense和智能手机上的深度传感器之类的深度获取设备的普及，用于从点云进行3D对象跟踪和重建的技术已经实现了各种应用。非刚性配准是这类技术的一个基本问题，特别是对于动态物体的重建。由于从结构光或飞行时间相机获得的深度图通常包含离群值和孔洞，因此需要鲁棒的非刚性配准算法来处理此类数据。此外，实时应用需要高计算效率的非刚性配准。非刚性配准的目的是找到源点和目标点的变换场*通讯作者将其与目标点云对齐这个问题通常通过优化来解决目标能量通常包括测量变换后两个点云之间的偏差的对齐项，以及强制变换场平滑的正则化项。 现有的方法通常使用2-范数来表达这些项，这会惩罚整个表面上的对齐和平滑误差[1，21，20]。另一方面，由于点云之间的噪声、异常值、部分重叠或铰接运动，地面实况对准可能这种大的局部化误差将被M2公式抑制，这可能导致错误的比对结果。为了提高对齐精度，最近的工作已经为这些项使用了稀疏促进范数，例如，N1范数[36，22，17]和N0范数[12]。稀疏性优化在点云的大部分上强制执行小的误差度量，同时允许在一些局部区域中的大的误差，从而提高配准过程的鲁棒性。然而，这些稀疏项可能导致非平滑问题，这对解决更具挑战性。 现有方法通常采用一阶求解器，例如交替方向乘法器（ADMM），其可能会收敛到高精度解[6]。本文提出了一种快速收敛的鲁棒非刚性配准方法 关键的想法是使用Welsch函数[ 14 ]来增强稀疏性我们制定了一个优化，应用Welsch与非光滑范数不同，Welsch我们使用优化最小化（MM）算法解决优化问题[19]。它迭代地基于当前变量值为目标能量构造代理函数，并最小化代理函数以更新变量，并且保证收敛到局部最小值。Welsch函数使我们能够以简单的最小二乘形式导出代理函数，该代理函数76007601VU{∈}VEETV{∈}S {V E}^^Σ实验结果验证了我们的方法的鲁棒性，以及其优越的性能相比，现有的鲁棒配准方法。综上所述，本文的主要贡献包括：我们制定了一个非刚性配准的优化问题，使用Welsch该公式有效地提高了结果的鲁棒性和准确性。我们提出了一个MM算法来解决优化问题，使用L-BFGS来解决子问题。与现有方法相比，MM和L-BFGS的结合大大2. 相关工作非刚性配准在计算机视觉和图像处理中得到了广泛的研究。关于3D点云和网格的刚性和非刚性配准的最新调查，请读者参考[31]下面，我们将重点介绍与我们的方法密切相关的作品。已经提出了各种基于优化的方法用于非刚性配准。Chui等人[8]利用薄板样条（TPS）模型来表示非刚性映射，并交替更新对应关系和TPS参数以找到优化的对齐。根据这种方法，Brown et al.[7]使用迭代最近点（ICP）的加权变体来获得稀疏对应，并通过TPS将扫描扭曲到全局最佳位置。 将经典ICP算法扩展到刚性配准，Amberg等人。[1]提出了一种非刚性ICP算法，该算法逐渐降低正则化的刚度，并将源模型逐渐变形为目标模型。Li等人[21]采用了嵌入式变形方法[29]，使用变形图上定义的变换来表达非刚性变形，同时优化了源和目标扫描之间的对应关系、用于测量对应关系可靠性的置信度权重以及将源与目标对齐的扭曲后来，Li et al.[20]组合的点对点和点到平面度量用于更准确的对应性测量。其他方法从统计学的角度解决这个问题。考虑两个点云的拟合作为一个概率密度估计问题，Myronenko等人。[2]提出了相干点漂移算法，该算法使位移矢量指向相似的方向在统计框架下，Wand et al.[34]使用无网格变形模型来执行成对对齐。Ma等人[24]提出了一种L2E估计器来建立更可靠的稀疏和密集对应。许多非刚性配准算法都是基于源模型和目标模型之间的偏差和变换场的平滑度的2-范数度量，这在地面实况对准由于噪声、部分重叠或关节运动而引起大偏差或非平滑变换时可能导致错误的结果。为了解决这个问题，已经提出了各种基于稀疏性的方法Yang等人。[36]利用了N1-范数来促进变换的规律性。Li等人。[22]还引入了位置稀疏性，以提高对噪声和离群值的鲁棒性。对于鲁棒的运动跟踪和表面重建，Guo et al.[12]提出了一种基于ARM0的运动正则化器，以适应关节运动。根据不同的应用，不同的正则化的转换已被提出，以提高结果的鲁棒性。在文献[10]中，引入了一个尽可能刚性的能量，以避免收缩并保持局部刚性。Wu等人[35]引入了尽可能保形的能量，以避免网格变形。Jiang等人[17]应用Huber范数正则化以诱导分段光滑变换。3. 问题公式化让=、是由采样点组成的源表面= v 1，v2，. . .，vn由一组边连接的R3. 让是具有采样点= u 1，u 2，. . . ，mR3.我们试图将仿射变换应用于源点，使其与目标表面对齐。在本文中，我们采用了[29]中提出的嵌入变形方法来模拟变换。具体地说，我们构造一个变形图G，其顶点VG={p1，. - 是的- 是的，p，r}是源的子集，点，其边缘G连接顶点，在目标表面附近在每个变形图vertexpj上定义一个仿射变换，用变换矩阵Aj∈R3×3和位移表示向量tj∈R3.每个顶点pj影响一个局部区域其包含任何源点vi，其在源表面上的测地距离D（vi，pj）到pj小于用户指定的半径R。 如果pj影响源点vi，则与pj相关联的仿射变换（Aj，tj）导致vi的变换位置Aj（vi-pj）+pj+tj。 则最终变换位置vi对于vi是凸组合以提高转型的连贯性。洪塔尼和等人[15]将统计形状模型和噪声模型结合到非刚性ICP框架中，并基于其稀疏性检测异常值。Jian等人[16]代表vi=pj∈I（vi）wij·（Aj（vi−pj）+pj+ tj），（1）每个点集作为高斯混合物，将点集配准处理为对准两个混合物的问题也其中I（vi）={pj|D（vi，pj）
0是用户指定的参数。 ν a在[0，+∞）上单调递增，因此iρ（i）当Δva≤1时，偏差对度量Ealign 的影响有限.此外，如果νa→0，则Ealign接近从源点到目标表面上的最近点的逐点距离的100因此，该误差度量对噪声数据不敏感，项应惩罚vi之间的偏差和uρ（i）。部分重叠。一个简单的方法是将其定义为所有这些点对之间的距离这确实是经典ICP算法[3]中用于刚性配准[25]的对准误差度量另一方面，这种逐点距离的2-范数可能导致真实世界数据上的错误对齐，其中两个表面可能仅部分重叠，并且它们的点位置可能是有噪声的。这是因为部分重叠和噪声数据可以在地面实况对准下引起从一些源点到其对应的目标点的大距离，这将被2-范数最小化所禁止。以前的一些工作，如文献[5]中的稀疏ICP算法，采用的误差度量是0p-范数（00是用户-然后通过最小化代理来更新变量指定的参数，并且N（pi）表示邻居的集合在G中对pi的顶点进行分组。功能X（k+1）= argminEXX（k） （X）。（八）旋转矩阵项。为了在配准过程中保持局部表面区域的刚性，我们希望每个变换Xi尽可能接近刚性变换。我们使用变换矩阵Ai与其最近投影在旋转矩阵群R ={R ∈ R3×3|RTR =I，det（R）>0}，并将Erot定义为Erot（X）=<$$> Ai−projR（Ai）<$2，（6）通过这种方式，保证每次迭代都减少目标函数，并且保证迭代收敛到局部最小值，而不管初始化如何[19]。相比之下，现有的用于最小化非凸最小二乘范数的求解器，如ADMM [5]或迭代重加权最小二乘[9]，要么缺乏收敛保证，要么依赖于强收敛假设在下文中，我们解释了代理函数的构造，并给出了在每次迭代中使其最小化的数值算法4.1.代理函数i=1构造代理函数EX（k）、 我们注意到其中proj是投影算子，F是弗罗贝纽斯范数。在y [ 13 ]处的Welsch函数的凸二次代理函数3.2. 变形图的构造为了构造变形图G，我们首先提取yν（x）=1 −ν（y）2ν2x-y其顶点VG通过迭代地添加源点如下：低点G初始化为空。然后，我们对所有源点，并基于它们在具有协方差矩阵的最大特征值的轴上的投影对它们进行排序。根据排序顺序，我们遍历每个源点vi，如果VG为空或从vi到VG中的点的最短测地线距离是这个函数从上面限制了Welsch将此代理应用于所有相关项，我们得到Er g在X（k） 处 的 代理 函 数。更进一步，我们可以忽略所有常数项，因为它们不影响最小值，从而得到以下凸二次函数小于半径参数R。 确定后VEX（k）1Σ ΣR.2017年12月2日R顶点集G，我们构造边集G通过连接测地距离小于R的任意两个顶点。我们用快速行进法Ereg=2ν2i=1pj∈N（pi）exp−2ν2我是说，（九）方法[18]。默认情况下，R设置为5l，其中l为平均值源表面上的边长。 与alterna相比，有效的采样策略，如最远点采样方法[26]，我们的方法导致更少的样本点其中D（k）使用等式（1）来评估。 （4）在X（k）处。同样，我们可以获得以下函数作为E对齐的替代，X（k）直到一个常数：n（k）（k）2对于相同的半径参数，这减少了计算-成本，同时达到类似的精度。的比较补充材料中提供了实例。1磅x磅。−v^i−uρ（i）一 i=1一Σǁv^−u（10）4. 数值算法其中v（k）是根据下式的viX（k），u（k）是v（k）的最小到达点。 当量（10）优化问题（2）的目标函数E是非线性和非凸的。由于Welsch函数的使用具体地，给定当前迭代中的变量值X（k），MM算法构造一个表面，X（k）为目标函数E选择函数E，使得不是X的二次函数，因为uρ（i）非线性地依赖于X。为了获得更简单的形式，我们注意到项vi− uρ（i）2具有二次代理函数vi−2（）ρ（i）以下凸二次代理函数为E对齐在X（k）直到一个常数：n（k）（k）2X（k）（k）（k）X（k）（七）ρ（i）E（X）=E（XE）的情况下，=7605对齐1Σ。 vi−uρ（i）2ν2i=12ν2（k）2XE（X）≥E（X），<$XX（k）。（十一）7606我η= Tr（TTR）/ρi;02F2ν2简体中文ǁ-2v−∈一RJ我JnJ我阿吉亚岛我R我我不知道R1RR..将目标函数中的Ealign和Ereg替换为它们的代理，我们得到以下MM迭代方案：算法1：用于计算下降方向d（j）的双循环递归X（k+1） =最小EXX（k）（十）、（十二）Q=−G（X（j））;对于i = j-1，. - 是的- 是的，j − m doX（k）X（k）X（k）Si=Xi+1−Xi;Ti= G（Xi+1）−G（Xi）;其中E=Ealign + αEreg+βErot。ρi= Tr（TTSi）;ρi= Tr（STQ）/ρi;4.2.数值最小化X（k）我Q = Q−iTi;Eq.中的目标函数E（12）仍然包含非-端线性项Erot，作为旋转矩阵上的投影群非线性地依赖于Ai。另一方面，如稍后所解释的，Erot的特殊结构导致其梯度的简单形式，允许我们评估X（k）R = H−1Q;对于i = j-m，. - 是的- 是的，j − 1 do我R = R +Si（i−η）;端E效率。因此，我们解决子问题（12）使用L-BFGS求解器快速收敛。 在每个iter中-X（k）L-BFGS最迟利用E的梯度，m+1迭代X（j），X（j-1），. - 是的- 是的，X（j-m）以隐式地逼近其逆Hessian并导出下降方向d（j）= R;P=p∈I（v）pj，.- 是的- 是的、n∈I（v）pj∈Rn×3，d（j），然后沿着d（j）进行线搜索，以获得新的U=u（k），.，u（k）T∈Rn×3。同样，我们也有X（j+1），目标函数充分减小[27]。在下文中，我们将介绍求解器的详细信息ρ（1）ρ（n）X（k）Ereg=<$Wr（BX-Y）<$F，（14）梯度计算。对于定义在当量（6），每一项Ai−projR（Ai）<$2是Eu的平方其中矩阵B∈R2| EG| ×4r和Y∈R2| EG| ×3 en-在每一行对项Dij从矩阵Ai到流形R的旋转矩阵尽管projR（Ai）依赖于非-在Ai上线性地，可以证明平方距离具有正交矩阵Wr存储重量1点经验值R（k）2IJ2R一个简单的梯度形式[11]：∂ǁAi−proj (Ai)ǁ2R在相应的行。 在对应于Dij的行中，Y中的元素是[pT-pT]，而B中的元素是对于Xi和Xj，分别为[pT− pT，1]和[0，0，0，1]。阿雷阿河因此，我们可以将Erot的梯度写为：Erot=2（A−proj（A）），=0。我们可以进一步将矩阵形式的Erot的梯度写为：CMErot= 2（JX Z），X其中Z=[投影]（A），0，. . .，项目（A），0]T∈R4r×3，X（k）X（k）并且J = diag（1，1，1，0，1，1，1，0，. - 是的-是的，1，1，1，0）R4r×4r.X（k）由于E对齐 和Ereg是二次函数，它们的梯度它们具有简单的线性形式。为了方便介绍，我们首先将函数改写成矩阵形式。在下文中，然后我们可以导出EG（X）= 2[FTW2（FX + P−U）作为（十五）我们假设所有3D向量都是3×1矩阵。在pi处的变换表示为Xi=[Ai，ti]T∈R4×3，并且X=[X，T，. - 是的- 是的，XT]T∈ R4r×3. 然后我们有+αBTW2（BX − Y）+ β（JX −Z）]。不7607联系我们使用[23]中解释的双循环递归（参见算法1）。在[23]之后，我们通过假设我J一R1rX（k）计算d（j）和X（j+1）。 我们采用L-BFGS IM-[23]中的2个补充，以利用其中WWE对齐 = Wa（FX + P −U）F，（13）=diag（w a，.， n∈ Rn×n，其中1exp我，F是分块矩阵X（k）E. 具体地说，给定初始近似H 0，X（k）an.v^（k）−u（k）黑森人在X（j）处，我们计算下降方向，Fij1≤i≤nR1≤j≤r与一个固定的投影仪（Ai）对于术语E腐，导致. wij·[vT−pT，1]如果pj∈I（vi）以下近似：、H =2（FTW2 F + αBTW2 B + βJ）.（十六）=2一a我12νa−n×4rρ（i）2ν2Fij=0否则07608一R一^aR我我然后，计算新的X（j+1）为：X（j+1）= X（j）+λd（j），使用线搜索来确定步长λ >0，X（k）算法二：非刚性配准νa=νmax;νr=νmax;而TRUE则执行k=0;重复实现E的充分降低：查找对应点u（k）对于每个V（k）;X（k）E（X（j+1））≤EX（k）（X（j））+γλTr（.G（X（j））d（j）），（十七）ρi更新权重矩阵Wa和Wr;j=−1;X（0） = X（k）;其中，γ∈（0，1）。 终止迭代L-BFGS求解器重复如果EX（k）（X（j））−EX（k）（X（j+1））1，其中1是使用r-j=j+1;计算梯度G（X（15）;指定阈值。外MM迭代是termi-natedifmaxi2withauser-specified阈值0.02或外部迭代的次数达到阈值Imax. 在所有实验中，我们设置m = 5，γ =0。3、（j）用Alg计算方向d（j）1;对X（j+1）执行线搜索，满足条件（17）;1=10−3，=10−3，则I Max=100。直到EX（k）（X（j））−EX（k）（X（j+1））<≠1;矩阵H0是稀疏对称正定的，在L-BFGS求解器的每次迭代中保持不变到求解线性方程R = H−1Q在两个X（k+1）= X（j+1）;k=k+1;（k+1）（k）0untilmaxivi−vik=Imax;循环递归，我们计算稀疏Cholesky分解如果νa=νmin^，则^在L-BFGS运行开始时，每次迭代求解具有不同权值的线性系统手侧。此外，右手边一returnX端（k+1）;矩阵Q是独立的，因此我们并行求解它们此外，尽管矩阵H0可以在不同的L-BFGS运行，其稀疏模式保持相同。因此，我们预先计算H0的符号因式分解，随后只执行数值因式分解。选择νa和νr。为了实现鲁棒配准，νa和νr的值起着重要作用。它们中的每一个用作替代函数（9）或（11）中的高斯权重的标准偏差参数对于当前幅度远大于标准偏差的误差项，高斯权重实际上变为零在求解器的最后阶段，νa和νr都需要足够小，以排除由部分重叠等引起的大误差项的影响另一方面，在求解器的初始阶段，它们的值需要更大，以便容纳更多的误差项并实现粗对准。因此，我们用刚性变换初始化变量X（参见第二节）。5），并解决问题（2）具有相对较大的值νa= νmax和νr= νmax。然后将解作为初始变量值重新求解问题（2），其中νa和νr的值减少一半。 我们重复这个过程，直到νa的值达到下限νmin，并将最终解作为配准结果。算法2总结了我们的整体配准算法，其中νa和νr的值逐渐减小。默认情况下，我们设置νmax=40l，νmax=10d，v a= max（0. 5·ν a，νmin）; ν r= 0. 5·ν r;端源表面。在补充资料中，我们将逐渐减小νa和νr的策略与使用固定νa和νr的注册策略进行了比较，结果表明我们的策略获得了更准确的结果。设置α和β。 为了说明等式中目标函数的每个分量中的项数， （2）将权重设为α=kα（|V|/|EG|）和β=kβ（|V|/|VG|），默认情况下k α=k β=1。对于初始化可靠的问题实例，我们减小了kα和kβ以实现更好的对齐，并在初始化不太可靠的问题实例上增加它们的值，以避免收敛到不期望的局部最小值。此外，可以增大kα的值以使源表面的变形更平滑，或者减小k α的值以使收敛更快。5. 结果在本节中，我们评估了我们的方法的有效性，并将一不7609一其性能与最先进的方法进行了比较，包括N-ICP [1]，RPTS [22]和SVR-RP0[12]。在MPI Faust数据集上进行评估[4]R aνmin= 0。5l，其中d是距源的中间距离点到其对应的目标点下的初始刚性变换，而l是上的平均边长[33]人的一生我们只显示本节中列出了代表性结果，补充材料中提供了更多7610--βvi∈Vi，（18）我我我我ǁ −ǁ源目标N-ICPRPTs我们0.1#v：6890电话：+86-20 - 2200000传真：+86-20 - 2000000#v：6890RMSE：0.04885.58sRMSE：0.007581.86s0RMSE：0.00351.03s图2.比较我们的公式与使用W2范数而不是Welsch我们设kα=0。1，kβ= 100，对于φ2-范数公式，以及4kα=1，k =10。图3. MPI Faust数据集示例的配准结果比较。表1.MPI Faust数据集上的平均计算时间和RMSE（以毫米为单位）对于N-ICP，我们设置α = 5，α = 100，β = 0。对于RPTS为1，并且kα=kβ= 0。001我们的方法实现细节我们用C++实现了我们的方法，所有的结果和比较都在具有16GB RAM和3.60GHz的6核CPU的PC上进行了测试。 通过对齐它们的质心并缩放它们来预处理每对表面，以实现它们的组合边界框的单位长度对角线。我们使用通过ICP算法的15次迭代计算的刚性变换来初始化变换变量，以对齐源点和目标点，拒绝距离大于阈值θd或法向量偏离角度θ以上的点对[28]。我们设置bad=0。3，默认情况下θ=60°。通过对齐相应的特征点来初始化ICP迭代，这些特征点使用与上述拒绝标准耦合的预处理表面之间的最近点对来确定，或者使用具有扩散修剪[30]的SHOT特征[32]，或者通过手动标记来确定。在图中，我们使用连接相应点的蓝线来我们通过与地面实况相比的均方根误差来评估配准精度. Σe2使用#v表示表面上的采样点的数量，使用#n表示变形图顶点的数量。与我们的公式（2）类似，N-ICP、RPTS和SVR-RIO的优化目标函数都涉及正则化项和/或变换刚性项。为了便于表达，对于所有方法，我们分别使用α和β来表示正则化项和刚性项的权重我们调整每种方法的权重，以获得最佳结果进行比较。此外，N-ICP和RPTS要求在每次迭代中丢弃源点和目标点之间的不可靠对应关系，并且我们采用ICP迭代中使用的距离和法向偏差阈值θd和θ进行初始化。5.1. Welsch函数的有效性我们用Welsch函数进行优化（2）在E对齐用平方函数代替。图2和Ereg|V|其中ei= v∈vgt是源点vi分别在计算在图中，我们显示了每个配准结果的RMSE，并使用颜色编码来可视化整个表面的误差值ei。除非另有说明，否则所有RMSE值和彩色编码配准误差均以米为单位我们比较了这种双2范数公式与我们的方法的配准精度，从两个问题的情况下，“crane”我们可以看到，Welsch5.2. 与其他方法在选项卡中。1和图3.在MPI Faust数据集上，将该方法与我们选择10个主题源目标Welsch#v：10002，#n：200#v：10002 RMSE：0.0079 RMSE：0.040#v：10002，#n：204#v：10002 RMSE：0.0340 RMSE：RMSE=姿势对N-ICPRPTs我们时间（s）RMSE时间（s）RMSE时间（s）RMSE17.43 59.761.839.161.245.4624.46 20.846.523.220.861.3537.9535.257.971.368.9945.45 45.422.995.691.274.2654.13 14.214.040.7170.811.0668.61 59.628.726.291.303.89712.57 20843.2661.62.2349.386.05 70.426.276.581.347.54是说7.0869.734.8612.71.3010.2中值6.7459.631.996.441.284.867611源目标N-ICP0RPTs0.2我们5%顶点0.150.10.0500 510#v：10002#v：10002 RMSE：0.0785 RMSE：0.0076 RMSE：0.0079时间（秒）50%顶点电话：+86-20-220000027.59s100.20s3.00s#v：10002电话：+86-20 -8888888#v：9562RMSE：0.019734.63sRMSE：0.025532.86sRMSE：0.030785.70sRMSE：0.01163.31s0.150.10.0500 510#v：10002#v：10002 RMSE：0.0954 RMSE：0.0269 RMSE：0.0258图5.与N-ICP、RPTS和SVR-100在部分重叠的模型上的比较，通过删除一些顶点来构建从目标表面。 原始模型取自[ 33 ]的 我们设置α N-ICPS= 10对于RPTS，α= 1，β = 100，α = 0。1，β= 100（对于SVR-100），时间（秒）电话：+86-20-555555526.28s131.63s2.25sK= 1，k= 100，νmax= 30d，νmax= 100l，α β受体0.10.080.060.040.02100%顶点θ= 45°。标准偏差σ=1至5%或50%00 510时间（秒）#v：10002#v：10002 RMSE：0.0473 RMSE：0.0184 RMSE：0.0159分别在目标表面上的顶点，其中l是目标表面的平均边缘长度最近两0.10.080.060.040.020100%顶点电话：+86-20-888888813.54s76.02s2.20s行，我们将噪声添加到目标表面的所有顶点，标准偏差σ=0。3l和σ=0。7L，分别。比较表明，我们的方法是更强大的噪声数据。图5、与N-ICP、RPTS方法进行了0 510#v：10002#v：10002 RMSE：0.0680 RMSE：0.0178 RMSE：0.0211和SVR-100部分重叠的数据，这是合成的，时间（秒）电话：+86-20-220000013.74s65.51s1.51秒0图4.与N-ICP和RPTS在通过向目标表面上的一些顶点添加高斯噪声而原始模型取自[ 33 ]的左列显示配准结果的RMSE在优化期间如何随时间变化。我们设α= 5，N-ICP，α= 10，RPTS的β= 1，kα= 0。01，kβ= 1，θ=180°。具有9个姿态，并且使用每个对象的第一姿态作为源表面，对象的其他姿态作为目标。我们评估所有受试者对同一姿势对的平均RMSE，并将其列在表中。1.一、图3示出了来自针对对象的姿势对的不同方法的结果。我们可以看到，我们的方法需要显着更少的计算时间，同时实现类似或更好的准确性。我们的方法的效率的一个主要原因是通过变形图，这只需要优化一个仿射变换每个图形顶点。相比之下，N-ICP和RPTS需要优化每个网格顶点的一个仿射变换，这显著增加了变量的数量以及计算时间。图4比较了我们的方法与来自[ 33 ]的在图的前两行4、我们加上0源目标N-ICPRPTsSVR-0.1我们N-ICPRPTS我们RMSERMSERMSERMSE7612[ 33 ]《明史》：“顶点从目标曲面。对于SVR-100，我们使用从源点到其最近目标点的平方距离作为数据拟合项。我们可以看到，我们的方法是显着的速度比其他方法，并且是更强大的部分重叠模型。6. 结论本文提出了一种基于Welsch函数的鲁棒非刚性配准模型。将Welsch函数应用于对准项和正则化项使得该公式对噪声和部分重叠具有鲁棒性。为了有效地解决这个问题，我们应用优化最小化的非线性和非凸问题转化为一系列简单的子问题，有效地解决了L-BFGS。大量的实验表明，我们的方法的有效性和效率相比，现有的方法。致谢我们感谢[12]的作者提供了它们的实现。 本研究得到了国家自然科学基金（No.2001 - 2006）的资助。61672481）及青年创新促进会CAS（No. 2018495）。7613引用[1] Brian Amberg，Sami Romdhani，and Thomas Vetter.用于表面配准的最佳步长非刚性ICP算法。在IEEE计算机视觉和模式识别会议（CVPR）中，第1-8页。IEEE，2007年。一、二、六[2] 米罗年科·安德烈和宋旭波。点集配准：相干点漂移IEEE Transactions on Pattern Analysis and MachineIntelligence，32（12）：2262-2275，2010。2[3] Paul J. 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